今天分享的是一篇 IEEE 車載科技雜誌 (Vehicular Technology Magazine) 的文章，講述 multicell OTFS 系統的細胞間干擾 (inter-cell interference，ICI) 及應對之道。

論文資訊

Z. Zhang, Y. Wu, X. Lei, L. Lei and Z. Wei, “Toward 6G Multicell Orthogonal Time Frequency Space Systems: Interference Coordination and Cooperative Communications,” in IEEE Vehicular Technology Magazine, vol. 19, no. 1, pp. 55-64, March 2024, doi: 10.1109/MVT.2023.3345609.

論文內容

  高速移動(e.g. 時速 100 公里)的應用情境是 6G 行動通訊的主要關注之一，如車聯網、無人機等等，在這些情境下 OFDM 的通道估測變得困難，OTFS 因此受到矚目。在 OTFS 多細胞行動通訊中，位於細胞邊緣的使用者 (cell-edge users，簡稱 CEU) 受到的干擾嚴重、SINR 較低，對於 ubiquitous communications 而言是必須正視的問題。為了對抗 ICI，5G 系統採用以下三種方法：

• ICI coordination (ICIC)
• Coordinated multipoint (CoMP)
• Integrated access and backhaul (IAB)

  前兩者在 4G 引進，IAB 則是 5G 引進。下面分別簡單介紹。

ICIC

  參考介紹通訊協定的知名部落格 Castle on a Cloud 的文章[1]。ICIC 最早在 3GPP Release 8 就提出，為了解決細胞間干擾的問題：UE 位於兩相鄰細胞之間的邊界，其中一個細胞的訊號會形成干擾，或是 UE 位於一個 pico cell 的服務範圍，此時 macro cell 的訊號就會形成干擾。

  ICIC 使基地台 (eNB，for evolved Node B) 透過 X2 介面來協調服務基地台使用哪一個通道(e.g. 頻帶)來傳送訊號。加強版的 eICIC 增加了 ABS (Almost Blank Frame) 的功能，small cell 可以在 macro cell 傳送 ABS 的時候，收發訊號給 UE。更詳細的內容可以參考[2]。

CoMP

  參考通訊協定大神 ShareTechnote 的筆記[3][4]。CoMP 自 4G 引進，沿用至 5G NR，最初的目的是增加細胞邊緣的吞吐量 (throughput)。CoMP 的使用情境為數個 macro cells 之間，或是單一 macro cell 和數個 RRH (Remote Radio Head) 之間的協調，可以是同質網路或是異質網路(不同機器種類、功率等級)。CoMP 的功能如下(以下行為例)：

• CS (coordinated scheduling)
  一個 UE 的資料只會由一個傳送站點 (TP，transmission point) 發送，TP 和 UE 的配對、傳送的時槽分配等等，由中央的基地台決定 (CSI known)。

• CB (coordinated beamforming)
  每個 TP 的傳送波束由中央的基地台最佳化，以便增加各個 UE 的 SINR。

• JT (joint transmission)
  每個 TP 傳送相同資料給單一 UE，透過波束成型來最大化 SINR。

• TPS (transmission point selection)
  每個時槽選定一個 TP 傳送資料給指定 UE，和 CS 有點像，但是 CS 是以 cluster 為單位分配。

  因 5G NR 對低延遲、毫米波覆蓋率的要求，CoMP 成為更關鍵的技術。只不過 CoMP 也是有缺點，它需要高速低延遲的 backhaul 線路來調度各個 TP，波束成型、排程的計算量也很大，並且對於訊號同步的要求很高(波束成型的基礎)。

IAB

  參考 Castle on a Cloud 和 ERICSSON 的文章[5][6]。由於毫米波的覆蓋範圍較小，5G 需要密集的部署基站，因此也需要相對密集的 backhaul 線路。IAB 以毫米波作為無線 backhaul 的途徑，可以是附加的功能 (IAB-MT) 或是和接取網路共用天線和硬體，如圖A。IAB 以提高訊號強度的方式來增加 SINR，和另外兩種方法的核心概念不同。

Downlink OTFS ICI

  回到 OTFS 系統的 ICI，其實和 OFDM 系統受到的干擾來源是相同的，但是訊號受影響的形態則不太一樣；關鍵在於 OTFS 是在 DD domain 規劃無線電資源。舉例來說，假設有某個 jamming 訊號出現在某頻帶內，對於 OFDM 系統而言，受干擾的是與 jamming 訊號頻譜重疊的子載波；但是對於 OTFS 系統而言，卻是整個 DD domain 都會被蓋到。

ICIC for multicell OTFS

  ICIC 有兩種作法，FFR (fraction frequency reuse) 或 SFR (soft frequency reuse)。FFR 將頻帶分為細胞中央使用的頻帶，以及細胞邊緣 CEUs 使用的頻帶，每個 CEU 實際佔用的頻帶則是依據 reuse factor 再劃分的子頻帶，因此 CEU 彼此之間就不會互相干擾。

  FFR 頻帶使用效率不佳，因為細胞中央的使用者分配到的頻帶減少。SFR 放寬限制，讓細胞中央的用戶也可以使用其他細胞 CEU 分配到的頻帶，只是必須降低功率。

  上述是 OFDM 系統的作法，OTFS 系統大同小異，就是把頻率資源換成 delay-Doppler 資源。圖B呈現一個 seven-cell 的系統，沿著 delay 軸劃分資源。

CoMP for multicell OTFS

  在 UE 快速移動的情境下，不管是波束成型 (CB) 還是基地台排程 (CS) 都面臨挑戰。不過基本上作法和 OFDM 系統是一樣的。

IAB for multicell OTFS

  OTFS 系統中的 IAB node 可以分為移動式節點或固定式節點，前者和基地台之間有相對移動，後者則是和用戶有相對移動。大致上和 OFDM 系統是一樣的。

效能比較

  論文模擬 seven-cell 的 OTFS 系統，通道假設為 3GPP EVA model 及 perfect CSI，採用 ICIC 和 CoMP。模擬結果顯示 CoMP CB 的效果優於其他方法，random beamforming 次之。(關於 random beamforming 之後會寫一篇文章給大家講解。)

  至於 IAB-based 的 multicell OTFS 系統，IAB node 和基地台的距離會影響 BER，通道的路徑衰減也是重要因素。

結語

  本文介紹的技術都是在前幾世代行動通訊就被提出、甚至納入 3GPP spec，但是 4G 和 5G 採用的波型皆為 OFDM，這些技術未必能直接套用到新的波型，如 OTFS。這篇論文討論 OTFS 系統的細胞間干擾，指出其與 OFDM 系統的細胞間干擾相異之處，並且以模擬檢驗現有方法的效果。

參考資料

[1] 柯俊先, “LTE筆記: Inter-cell Interference Coordination (ICIC) 以及其延伸 (eICIC, FeICIC)”, note-on-clouds.blogspot.com. Available: https://note-on-clouds.blogspot.com/2020/05/lte-inter-cell-interference.html

[2] ShareTechnote, “ICIC(Inter-Cell Interference Coordination)”, sharetechnote.com. Available: https://www.sharetechnote.com/html/Handbook_LTE_ICIC.html

[3] ShareTechnote, “CoMP (Coordinate MultiPoint)”, sharetechnote.com.
Available: https://www.sharetechnote.com/html/5G/5G_CoMP.html

[4] ShareTechnote, “CoMP”, sharetechnote.com.
Available: https://www.sharetechnote.com/html/LTE_Advanced_CoMP.html

[5] 柯俊先, “LTE筆記: 3GPP Integrated Access and Backhaul”, note-on-clouds.blogspot.com. Available: https://note-on-clouds.blogspot.com/2024/01/lte-3gpp-iab.html

[6] Henrik Ronkainen, Jonas Edstam, Anders Ericsson, Christer Östberg, “Integrated access and backhaul – a new type of wireless backhaul in 5G”, Ericsson Technology Review. Available: https://www.ericsson.com/en/reports-and-papers/ericsson-technology-review/articles/introducing-integrated-access-and-backhaul

  最近 Google 提出了 TurboQuant 的技術，優化 LLM 的記憶體使用效率，記憶體市場又經歷了一場驚濤駭浪。如今隻手遮天的數位霸權 Google，最初是從搜尋引擎起家的，本文介紹奠基這個數位帝國的重要技術──PageRank 演算法。

  雖然說是介紹，網路上肯定有更精闢、更清晰易懂的介紹，所以寫這篇文章的主要目的，還是幫助自己釐清想法。

論文資訊

Page, L., Brin, S., Motwani, R., and Winograd, T., “The PageRank Citation Ranking: Bring Order to the Web”, Technical Report, Standford InfoLab, Stanford, 1999.

Introduction

  近三十年前的網站已經有各種內容、版面配置以及檔案格式，如何分析形態多樣的網站，最佳化網頁搜尋的結果？這篇 paper 提出，應該根據網頁彼此連結的結構，建立一套演算法，那就是 PageRank。

  在過去(相對於這篇 paper 撰寫當下)的研究主要探討學術文獻的 citation 網路，但是網頁不管在質(是否經過審查、內容的品質)還是量(網頁的生成比論文要簡單多了)都和學術文獻網路不一樣，網頁之間的關係也比學術論文之間的關係還要複雜許多。現在我們或許很難想像，但是三十年前網際網路初登場不久，許多粗製濫造的網頁充斥在搜尋引擎結果，PageRank 用意就在解決這些問題。

  PageRank 計算網頁的排名 (ranking) 來度量網頁的相對重要性 (relative importance)。名詞解釋：

• Forward link：某網頁到其他網頁的連結。
• Backlink：其他網頁到某網頁的連結。

PageRank

  如果一個網頁的 backlink 排名的總和很高，該網頁的排名就會很高。以「受人歡迎的程度」為例，如果你的朋友很多，但都是一些討人厭的傢伙，那麼你受人歡迎的程度不會太高；如果你只有一個朋友，但是那個朋友是個人氣王，那麼你大概也會受人歡迎。

  假設 $u$ 是一個網頁，$F_u$ 為其 forward link 的集合，$B_u$ 為其 backlink 的集合，並且 $N_u = \lvert F_u\rvert$。簡化版本的 PageRank 可以表示為

$$
R(u) = c \sum_{v \in B_u}{\frac{R(v)}{N_v}}
$$

  其中 $c$ 是一個 normalization constant。一樣以「受人歡迎的程度」為例，假設「受人歡迎的程度」以「歡笑」作為度量單位(怪獸電力公司 neta)，我的朋友某A有一百個「歡笑」，但是他有二十個朋友，所以對於每個朋友的受歡迎程度，某A只能貢獻五個「歡笑」，大概是這樣的概念。定義方陣 $A$ 為網頁矩陣：

$$
A_{u, v} =
\begin{cases}
\begin{align}
\frac{1}{N_u},\ \ &\text{one link from v to u}\\[10pt]
0,\ \ &\text{no link from v to u}
\end{align}
\end{cases}
$$

  如果以 $\overrightarrow{R}$ 表示所有網頁的 rank，則

$$
\overrightarrow{R} = c A\overrightarrow{R}
$$

  即，$\overrightarrow{R}$ 是 $A$ 的一個特徵向量，$c$ 為對應的特徵值。到目前為止一切正常，但是若存在只有輸入、沒有輸出的封閉迴路，稱之為 rank sink，幾個網頁互相吹捧彼此，steady state solution 就不存在($A$ 可以視為一個 transition matrix，參考 Markov chain 的概念)。

  為了對付 rank sink，作者引進 rank source $\overrightarrow{E}$ 的概念。

$$
R’(u) = c \left(\sum_{v \in B_u}{\frac{R’(v)}{N_v}}\right) + c E(u)
$$

  當中 $c$ 為最大化，且 $\lVert R’\rVert_{l_1} = 1$ (各元素和為 1)。$\overrightarrow{E}$ 可以看作是對目前狀態 (state vector) 的擾動，避免 ranking 的循環困在封閉迴路中。以矩陣表示：

$$
\overrightarrow{R’} = c\left(A + \overrightarrow{E} \cdot {\overrightarrow{1}}^{T}\right)\overrightarrow{R’}
$$

  這就是更新版本的 PageRank 了。求 PageRank 就等於是求特徵向量，作者提供一個演算法，也就是 power method[1]：

PageRank 計算演算法，參數 $\overrightarrow{E}$，$\epsilon$

$\overrightarrow{R}_0 \longleftarrow \overrightarrow{R}_{\text{init}}$
While $\delta > \epsilon$
$
\begin{align}
&\quad \overrightarrow{R}_{i + 1} \longleftarrow A \overrightarrow{R}_i\quad&&\text{(計算經過轉移矩陣後的 state vector)}\\[5pt]
&\quad d \longleftarrow \lVert \overrightarrow{R}_i\rVert_{l_1} - \lVert \overrightarrow{R}_{i + 1}\rVert_{l_1}\quad&&\text{(這裡似乎是假設 }\lVert\overrightarrow{R}_i\rVert_{l_1}\text{ 大於等於 1)}\\[5pt]
&\quad \overrightarrow{R}_{i + 1} \longleftarrow \overrightarrow{R}_{i + 1} + d \overrightarrow{E}\quad&&\text{(加上 rank source 的項，d 會影響收斂速度)}\\[5pt]
&\quad \delta \longleftarrow \lVert \overrightarrow{R}_{i + 1} - \overrightarrow{R}_i\rVert_{l_1}\quad&&\text{(計算誤差，用來判斷是否停止迭代)}
\end{align}
$

  這個演算法的收斂速度為何？實驗顯示，近三億個連結的資料庫，大約要 52 次迭代才會收斂到容許誤差內，迭代次數大約和連結數的對數成正比，即時間複雜度為 $O(\log{N})$。

  Paper 後半段敘述實驗的方法與結果，反映了當時 (1996) 的網際網路風貌，如排名最高的網頁是 Netscape 下載頁面，CERN 首頁及 Yahoo! 也名列前十，殊不知 Google 很快就要加入戰局，改變整個網路生態。

讀後感想

  嚴格來說這篇 paper 不是論文，而是 technical report。它的風格簡潔、架構簡單，短短十七頁的內容為未來的數位帝國立下基礎。即使自己無法構思這般具影響力的發明，欣賞、分析它的巧妙設計，也可以帶來樂趣。

參考資料

[1] Wikipedia, “PageRank”, en.wikipedia.org. Available: https://en.wikipedia.org/wiki/PageRank

  幾天前在 UniMath 粉絲專頁看到這個問題：

瑪莉有兩個小孩，其中一個是男孩，且在星期二出生。請問另外一個孩子是女生的機率是多少？

  看起來就是一個典型的條件機率的問題。不過就像其他機率問題一樣，這個問題的答案也有些反直覺(還是說我太笨了)；我覺得蠻有意思的，故在這篇文章中展開對這個問題的討論。

  在回答問題前，我們先敘述基本的假設：生男生女的機率相同，為 1/2；出生在一星期中任一天的機率相同，皆為 1/7。換句話說，假設出生性別和出生於星期幾是 uniform 的機率分布。我們不考慮雙胞胎的情形，也就是說，兩個小孩是有出生順序的。並且兩個小孩的出生是獨立事件：第一個孩子的性別和出生日獨立於第二個孩子的性別和出生日。

第一個問題

  我們忽略「星期二出生」這個資訊，把問題改寫為：

瑪莉有兩個小孩，其中一個是男孩。請問另外一個孩子是女生的機率是多少？

  條件「其中一個是男孩」包含以下的事件：兩個皆男孩，先男後女，以及先女後男，每個事件的發生機率都是 1/4。根據條件機率的計算方法，得到另外一個孩子是女生的機率為 2/3。這符合直覺，因為一男一女有兩種排列，但是兩個都男孩的只有一種排列；生一男一女的機率本來就比較高(數學而言)。

  順便提一下我原本不經思考的答案是 1/2，大概是以為兩個孩子的出生性別是互相獨立，所以是 1/2。但是仔細想想，「其中一個是男孩」的資訊並沒有告訴我們男孩是先生還是後生，所以關注的事件不是某個孩子的出生性別，而是「出生性別的組合」──「兩男」或是「一男一女」。

第二個問題

  接著，我們回答原本的問題：

瑪莉有兩個小孩，其中一個是男孩，且在星期二出生。請問另外一個孩子是女生的機率是多少？

  這個問題比較 tricky 一點，因為加上了「星期二出生」的資訊。第一個直覺可能是：「星期二出生」這個資訊，怎麼會對出生性別的機率有影響？如果問題改成：

兩個小孩當中，第一個是男孩，且在星期二出生。請問另外一個孩子是女生的機率是多少？

  答案就是 1/2，出生在星期幾是不影響的。偏偏原問題不能這樣想；在原問題裡，我們不知道男孩是先生還是後生，所以和第一個問題一樣，關注的不是某個孩子的出生性別，而是「出生性別與出生時間的組合」。「一男一女」的組合，機率是 1/4 * 1/7 * 2 = 1 / 14；「兩男」的組合，機率是 1/4 * (1/7 * 2 - 1/49) = 13/196。根據條件機率計算方法，另一個孩子是女生的機率為 14/27。

討論

  為什麼第一個問題和第二個問題的答案不一樣？簡單的回答，就是兩個問題對事件的描述不同：第一個問題描述的是「出生性別組合」，第二個問題描述的是「出生性別與出生時間的組合」。

  這樣我們就滿意了嗎？當然沒有。直覺的想，那個男孩必然是在一星期當中的某天出生的，「出生在星期二」可以換成星期一、星期三…任一天，答案都是一樣的。那麼，為什麼只是指定男孩在哪一天出生，另一個孩子也是男生的機率就增加了？

  UniMath 畫了一張圖呈現條件的變化造成的機率變化，一目瞭然；從另一個角度，我們以文字敘述來呈現。在第一個問題裡，我們只有性別的資訊，性別組合中的「單一個體」的屬性欄位如下：

$$
\begin{align}
&\text{小孩 A 號： }\lbrace \text{性別}\rbrace\\[10pt]
&\text{小孩 B 號： }\lbrace \text{性別}\rbrace
\end{align}
$$

  A 號、B 號用來表示他們是不同的個體。A 號/B 號是男生或女生的機率皆為 1/2。現在，「兩個皆男孩」的排列有兩個：「A 男 B 男」和「B 男 A 男」，但是這兩種排列其實是同一種，因為A 號、B 號的資訊會被抹去。(我們只在乎性別組合。)「兩個皆男孩」的排列數為 1 * 2 * 1/2 = 1。(黃色表示身分資訊的抹除。)

  在第二個問題裡，加上出生時間的資訊，單一個體的屬性欄位變為：

$$
\begin{align}
&\text{小孩 A 號： }\lbrace \text{性別, 星期幾}\rbrace\\[10pt]
&\text{小孩 B 號： }\lbrace \text{性別, 星期幾}\rbrace
\end{align}
$$

  條件「其中一個是星期二出生的男孩」下，「兩個皆男孩」有多少排列數？算一下，總共有 (7 * 2 - 1) * 2 * 1/2 = 13 個排列。增加了出生時間的資訊後，排列數增加了，同時每個排列的機率也降低了。

  「其中一個是星期二出生的男孩」的條件，實際上增加了「兩個皆男孩」相對於「一男一女」的排列數。定義 $Q_i$ 為第 $i$ 個問題中「兩個皆男孩」排列數與「一男一女」排列數的比值，則

$$
\begin{align}
Q_1 &= \frac{1 * 2 - 1}{1 * 2} = \frac{1}{2}\\[10pt]
Q_2 &= \frac{7 * 2 - 1}{7 * 2} = \frac{13}{14}
\end{align}
$$

  如果再加上出生時間點的條件(增加屬性)，「其中一個是星期二早上六點出生的男孩」，作為第三個問題，那麼

$$
Q_3 = \frac{24 * 7 * 2 - 1}{24 * 7 * 2} = \frac{335}{336}
$$

  可以發現 $Q_i$ 逐漸趨近於 1。為什麼？隨著獲得的資訊(屬性)愈多，被明確定義的可能性也就愈多；被明確定義的可能性愈多，條件的約束愈微不足道，條件機率趨於無條件限制的機率。試想一個無限多可能性的情況：假設嬰兒出生的當下會被隨機賦予 1 ~ N 之間的某個整數作為其「幸運數字」，則條件「其中一個是幸運數字為 3 的男孩」下，另一個孩子是女生的機率為

$$
\begin{align}
&P\left[\text{一男一女}\right] = \frac{\frac{1}{4}\times\frac{2}{N}}{\frac{1}{4}\times\frac{2}{N} + \frac{1}{4}\times\frac{2N - 1}{N^2}}\\[10pt]
\lim_{N \rightarrow \infty}&{P\left[\text{一男一女}\right]} = \frac{1}{2}
\end{align}
$$

  相同條件下，若生男孩的機率為 1/3，生女孩的機率為 2/3，則

$$
\begin{align}
&P\left[\text{一男一女}\right] = \frac{\frac{2}{9}\times\frac{2}{N}}{\frac{2}{9}\times\frac{2}{N} + \frac{1}{9}\times\frac{2N - 1}{N^2}}\\[10pt]
\lim_{N \rightarrow \infty}&{P\left[\text{一男一女}\right]} = \frac{2}{3}
\end{align}
$$

  結果是一致的：由於描述條件的同時引進了無數的可能性，條件本身不再具有約束力，或者應該說，對於「出生性別」的機率失去約束力。兩個孩子中，其中一個是幸運數字為 3 的男孩，另外一個可以是男孩或是女孩，不論是哪一個，都有無數個可能性；指定「幸運數字」的條件，使得「出生性別」屬性對於排列數的影響化為零。既然男孩或女孩的排列數都一樣，最終的機率就取決於與條件無關的先驗機率。

  同樣的邏輯，在有限可能性的情況也適用，新增的資訊(屬性)使得男孩的排列數趨近於女孩的排列數，條件機率也會趨近於先驗機率。

結語

  從一個簡單的問題，寫就洋洋灑灑一篇文章，真佩服我說幹話的能力。本文探究條件機率在不同條件下的樣貌，並嘗試為違反直覺的條件機率，建立一套直覺。

參考資料

  和 Google Gemini 3 討論，不過沒有什麼特別的成果。

  MUSIC 是一個用於頻率估計以及無線電波方向估計(如 DOA，direction of arrival) 的演算法，全名為 multiple signal classification。MUSIC 在 1980 年代被提出，一開始用於感測器陣列，如雷達、麥克風陣列等。

  因為實驗室學長的研究有用到，就來認識一下這個演算法。也順便模擬一下，視覺化呈現 MUSIC。

MUSIC

  假設我們知道訊號向量 $\bf x$ 由 $p$ 個 complex exponentials 組成，我們要怎麼估計這 $p$ 個頻率？我們建立一個線性模型：

$$
{\bf x} = A {\bf s} + {\bf n}
$$

  其中 $A = [{\bf a_0}, \cdots, {\bf a_{p - 1}}]$，${\bf a_i} = [1, e^{j\omega_i}, e^{j2\omega_i}, \cdots, e^{j(N - 1)\omega_i}]^T$，$\bf s$ 為 complex amplitude。演算法的一個前提為 $p < N$。$\bf x$ 的自相關矩陣為

$$
R_x = A R_s A^H + \sigma^2 I
$$

  $R_x = R_x^H$，且是正定矩陣。對 $R_x$ 做特徵值分解 (EVD)，可以得到

$$
\begin{align}
R_x = V \Sigma V^H,\ \ &V = [{\bf v_0}, \cdots, {\bf v_{p - 1}}, {\bf v_p}, \cdots, {\bf v_{N - 1}}]\\[10pt]
&\Sigma =
\begin{bmatrix}
\lambda_0 & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu {\Huge 0} & \mskip -10mu\\[-5pt]
& \mskip -10mu \ddots & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu\\[-5pt]
& \mskip -10mu & \mskip -10mu \lambda_{p - 1} & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu\\[-5pt]
& \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu \sigma^2 & \mskip -10mu & \mskip -10mu\\[-5pt]
& \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu \ddots & \mskip -10mu\\[-5pt]
& \mskip -10mu {\Huge 0} & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu & \mskip -10mu \sigma^2
\end{bmatrix}_{N\times N}
\end{align}
$$

  (特徵值從大到小排列。)前 $p$ 個特徵向量生成 $\cal U_s$，後 $N - p$ 個特徵向量則是和 $\cal U_s$ 正交的雜訊空間 $\cal U_n$。這其實就是主成分分析的概念，前 $p$ 個特徵向量即為功率較大的訊號成分，後 $N - p$ 個特徵向量則是雜訊成分。

  令 $U_{\text{noise}} = \left[{\bf v_p}, \cdots, {\bf v_{N - 1}}\right]$，即 $\text{col}(U_{\text{noise}}) = {\cal U_n}$。定義 $d({\bf e})$ 為向量 $\bf e$ 在雜訊空間 $\cal U_n$ 的投影量大小，

$$
d({\bf e}) = \lVert U_{\text{noise}}^H {\bf e}\rVert^2 = \sum_{i = p}^{N - 1}{\lvert {\bf v_i}^H {\bf e}\rvert^2}
$$

  如果 ${\bf e} \in {\cal U_s}$，則 $d({\bf e}) = 0$。因此 $d({\bf e})$ 小，表示 $\bf e$ 的訊號成分功率較大、雜訊成分功率較小。反過來說，$1/d({\bf e})$ 愈大，$\bf e$ 的訊號成分功率愈大。要判斷兩個向量 $\bf e_1$ 和 $\bf e_2$ 哪一個更接近於訊號、哪一個更接近於雜訊，只要比較兩者的 $1/d({\bf e})$ 即可。還記得我們一開始想要知道的是訊號的頻率成分嗎？令 ${\bf e} = \left[1, e^{j\omega}, e^{j2\omega}, \cdots, e^{j(N - 1)\omega}\right]^T$，比較頻率軸上任兩點的 $1/d({\bf e})$ 大小，不就可以判斷哪一個頻率更接近於訊號？於是我們定義 MUSIC 的 pseudo-spectrum 為

$$
\hat{P}_{\text{MU}}(e^{j\omega}) = \frac{1}{\lVert U_{\text{noise}}^H {\bf e}\rVert^2}
$$

  形成連續的頻譜。根據一開始的假設，訊號由 $p$ 個 complex exponential 組成，只要找到頻譜上數值較高的 $p$ 個點，對應到的 $\omega$ 應該就是組成訊號的 $p$ 個頻率。這就是 MUSIC 演算法。

模擬

  網路上有人寫了開源的 MUSIC 函式庫，不過我還是自己寫一遍試試看，畢竟演算法本身相當簡單。圖A為模擬結果，矩陣 $A$ 是由三個頻率的 complex exponential 乘上窗函數 (window function) 組成。窗函數是用來模擬訊號的其他(功率較小的)頻率成分。

結語

  MUSIC 演算法概念算是簡單，但是總覺得線性模型的假設和真實情況不太一樣，不過既然已經有許多應用，應該是有實用價值的。

附錄

  附錄介紹主成分分析 (principal component analysis，PCA)，複習一下線性代數。假設我們有一個 covariance matrix $R_{xy}$，對它做奇異值分解 (SVD) (這邊都假設 mean 為 zero vector)：

$$
{R_{xy}}_{M\times N} = E\left[{\bf x}{\bf y}^H\right] = U_{M\times K} \Sigma_{K\times K} V^H_{K\times N}
$$

  $\Sigma$ 為一對角矩陣，$U$ 的 column vectors 為一 $K$ 維向量空間的一組單位正交基底；$V$ 也是如此。要怎麼解讀這個形式呢？

  假設我想要知道 ${\bf s} = A{\bf x}$ 和 ${\bf t} = B{\bf y}$ 的相關性，可以計算它們的 covariance matrix，

$$
R_{st} = E\left[{\bf s}{\bf t}^H\right] = E\left[A{\bf x}{\bf y}^H B^H\right] = AR_{xy}B^H
$$

  所以只要知道兩向量的線性變換(矩陣 $A$ 和 $B$)，就可以得知變換後兩向量的 covariance matrix。假設對 ${\bf x}$ 作線性變換，以矩陣表示為 ${\bf x’} = U^H {\bf x}$，對 ${\bf y}$ 作線性變換表示為 ${\bf y’} = V^H {\bf y}$，則變換後兩向量的 covariance matrix 為

$$
R_{x’y’} = U^H R_{xy} V = U^H U \Sigma V^H V = \Sigma
$$

  也就是說將 $\bf x$ 投影在 $\text{col}(U) = \text{span}\lbrace{\bf u_0}, \cdots, {\bf u_{K - 1}}\rbrace$，得到座標向量 ${\bf x’} = \left[x_0’, x_1’, \cdots, x_{K - 1}’\right]$；將 $\bf y$ 投影在 $\text{col}(V) = \text{span}\lbrace{\bf v_0}, \cdots, {\bf v_{K - 1}}\rbrace$，得到座標向量 ${\bf y’} = \left[y_0’, y_1’, \cdots, y_{K - 1}’\right]$。這兩個座標向量的相關性可以用 $\Sigma$ 來表示，$y_0’$ 只和 $x_0’$ 有關，$y_1’$ 只和 $x_1’$ 有關，以此類推。

  原本 $\bf x$ 和 $\bf y$ 的關係很複雜，$R_{xy}$ 是 full matrix，$y_0$ 和 $x_0 \cdots x_{M - 1}$ 都相關；以座標向量來表示 $\bf x$ 和 $\bf y$ (基底則是一組 latent vector，即主成分)，只需要 $K$ 個共變異數就可以描述兩向量的關係，而且這些關係還是一對一的($x_0$ 愈大，$y_0$ 愈大或愈小)，趨近單變數的函數關係。這就是降維 (dimension reduction) 的概念。推薦觀看李宏毅老師的機器學習教學影片[2]，講解非常精彩。

  剛才討論的是 $\bf x$ 和 $\bf y$ 的相關性，那麼如果是 $\bf x$ 和自己的相關性呢？因為 $R_x$ 是半正定矩陣，可以作特徵值分解，$R_x = V \Sigma V^H$。將 $\bf x$ 以 $\lbrace {\bf v_0}, \cdots, {\bf v_{K - 1}}\rbrace$ 為基底表示為座標向量 $\bf x’$，各個座標之間是不相關的。

$$
R_{x’} = V^H R_x V = \Sigma
$$

  這有什麼好處？原本我們需要 $M\times M$ 個共變異數來描述資料的組成，以主成分作為基底向量的話，只需要 $K$ 個共變異數和 $K$ 個 latent vector 就可以完整描述該資料，大幅減少所需的儲存空間，同時也將資料變化的程度 (variance) 集中在主成分上：最大的特徵值和對應的主成分，意味著資料在這個主成分的變異量最大；最小的特徵值和對應的主成分，意味著資料在這個主成分的變異量小，既然每一筆資料在該成分的變化不大，資訊量較少，就是比較不重要的成分，可以丟棄。(比如說人臉辨識，假如資料裡每張臉的鼻子都長得差不多，那鼻子這個特徵對於辨識不同人臉就沒有幫助。)

  上述的 $R_x$ 和 $R_{xy}$ 都是理論值，實際的情況是我們只有好幾筆資料 $X = \left[{\bf x_0}, {\bf x_1}, \cdots, {\bf x_{n - 1}}\right]$，而不知道 $R_x$。這時候就會用 sample covariance matrix $\hat{R_x}$ 來近似 $R_x$ (資料已經先減去 sample mean)，

$$
\hat{R_x} = \frac{1}{n - 1} X X^H
$$

參考資料

[1] Wikipedia, MUSIC (algorithm), en.wikipedia.org.
Available: https://en.wikipedia.org/wiki/MUSIC_(algorithm)

[2] Hung-yi Lee (Youtube), “ML Lecture 13: Unsupervised Learning - Linear Methods”, youtube.com. Available: https://www.youtube.com/watch?v=iwh5o_M4BNU

[3] Alex (HackMD 筆記), “直觀看待SVD及PCA之關係”, hackmd.io.
Available: https://hackmd.io/@alexmav04/rJG6P7EWO

  在介紹 RTL-SDR 的文章中，提到 RTL-SDR 是將 RF 訊號 down-convert 到中頻 (IF，intermediate frequency)，再對中頻的訊號取樣。我有一個疑惑：對中頻訊號的取樣和對基頻訊號的取樣不一樣，並不限於一般的 Nyquist sampling theorem，那應該滿足什麼條件？這篇文章就來講解對中頻訊號取樣的原理。

原理

  在 Ziemer 和 Tranter 的教科書 Principles of Communications 中提到，對帶通訊號取樣，要避免 aliasing 須滿足以下條件(作者稱為 uniform sampling theorem for bandpass spectra)：

如果訊號的 RF 頻寬為 $W$ 且頻率上限為 $f_u$，則取樣率可以為 $2f_u / m$，其中 $m = \lfloor f_u / W\rfloor$。更高的取樣率也不保證 aliasing-free，除非高於 $2f_u$。

  這稱為 undersampling 或是 sub-sampling。假設經過取樣後，並無 aliasing 的情況，且帶通訊號成分在 $f_c - W/2 = f_u - W$ 到 $f_c + W/2 = f_u$ 之間。還記得取樣後的頻譜，等於原本頻譜以 $f_s$ 為週期的複製貼上 (shifted replica)，所以只要知道 $0$ ~ $f_s / 2$ 之間的頻譜情形，就可以得知是否產生 aliasing。

  現在，假設最靠近 DC 的 replica 位於 $f > 0$ 的區間 $\left[-m f_s + f_u - W, -m f_s + f_u\right]$，即是向左位移 $mf_s$ 的 replica。為了必免在 DC 發生 aliasing，

$$
\begin{align}
-m f_s + f_u - W &\geq 0\\[10pt]
f_s &\leq \frac{f_u - W}{m}
\end{align}
$$

  也為了避免在 $f = f_s/2$ 附近造成 aliasing，

$$
\begin{align}
-m f_s + f_u &\leq f_s / 2\\[10pt]
f_s &\geq \frac{2f_u}{2m + 1}
\end{align}
$$

  且 $W \leq f_s / 2$。滿足這兩個不等式的 $f_s$ 就是合格的取樣率。注意到如果滿足不等式的 $f_s$ 存在，則

$$
\frac{f_u - W}{m} \geq \frac{2f_u}{2m + 1}
$$

  整理得到

$$
\begin{align}
W \leq \frac{f_u}{2m + 1} &\Longrightarrow 2m + 1 \leq \frac{f_u}{W}\\[10pt]
&\Longrightarrow 2m + 1 \leq \lfloor \frac{f_u}{W}\rfloor
\end{align}
$$

  令 $n = \lfloor \frac{f_u}{W}\rfloor$，可以得到取樣率的最低合格範圍：

$$
\begin{align}
\frac{2f_u}{n} \leq f_s \leq \frac{2(f_u - W)}{n - 1}
\end{align}
$$

  實際上，上式不一定要取最大的 $2m + 1$，因此可以取 $\left[1, n\right]$ 之間的任意奇數，得到的區間都是合格的取樣率範圍。

  上面討論的是沒有發生 spectrum inversion 的情況，不過 spectrum inversion 的思路也是類似的。IF sampling 得到的訊號，其頻率成分實際上已經轉換到相對低頻，因此可以用 DDC 再將訊號轉換到基頻，結束 down-conversion 的旅程。回顧 RTL-SDR 的例子，取樣率為 2.56 M sa/s，最大 RF 頻寬為 $W$ = 1.28 MHz，但是以最高頻率 $f_u = f_c + W / 2 = 3.57 + 0.64 = 4.21$ MHz 來說，這個取樣率太低，因此要嘛調整取樣率，要嘛限制訊號頻寬。

模擬

  我們以 MATLAB 模擬來驗證上述的說法。假設目標訊號為 1000 Hz 的弦波乘上寬度為 10 ms 的方波，對應到頻域就是主瓣寬度為 200 Hz 的 sinc 函數。在這個例子中，$f_u$ = 1100 Hz，$W$ = 200 Hz，$n = \lfloor f_u / W\rfloor$ = 5，對應到的取樣率範圍為 440 ~ 450 Hz。我們取 442.5 Hz 作為取樣率。(不要問我為什麼取這個數字，問就是產出來的圖比較好看。)

  模擬的程式碼如下，模擬結果如圖A所示。圖A上半部為取樣前的頻譜，下半部為取樣後頻譜，可以看到取樣後的頻譜基本上是沒有 aliasing 的(忽略 sinc 的旁瓣)。程式中對取樣訊號作 upsample 是為了呈現取樣後頻譜以 $f_s$ 為週期重複的特性。

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% This program simulates sub-sampling.
%
% Author: Raymond Su, raymondsu0110@gmail.com

clear

% ===== settings ===== %
dt = 1e-6; % time resolution of this simulation, freq span = 500 kHz
fs = 442.5; % sampling frequency, in Hz
f0 = 1000; % intermediate frequency, in Hz
T = 10000; % width of square pulse, in us
Ns = round(1 / fs / dt); % sampling period normalized with "simulation" sampling period

% ===== sig generation ===== %
pulse_duration = 0: dt: dt * T - dt; % duration of the square pulse

pulse = cos(2 * pi * f0 * pulse_duration);
x = [zeros(1, 2 * length(pulse)), pulse, zeros(1, 2 * length(pulse))];
Nsample1 = length(x);

y = x(1: Ns: end);
y = upsample(y, Ns);
Nsample2 = length(y);

% ===== presentation ===== %
X = fftshift(fft(x)) * dt; % dt = 1 / simulation_sampling_frequency
f1 = -0.5 / dt: 1 / dt / Nsample1: 0.5 / dt - 1 / Nsample1;
Y = fftshift(fft(y)) * Ns * dt;
f2 = -0.5 / dt: 1 / dt / Nsample2: 0.5 / dt - 1 / Nsample2;

figure();
subplot(2, 1, 1);
plot(f1, abs(X), "b-", "LineWidth", 2);
xlim([-2000 2000]); ylim([0 0.007]);
xlabel("frequency (Hz)"); ylabel("spectrum (abs)");
title("original signal spectrum");

subplot(2, 1, 2);
plot(f2, abs(Y), "r-", "LineWidth", 2);
xlim([-2000 2000]); ylim([0 0.007]);
xlabel("frequency (Hz)"); ylabel("spectrum (abs)");
title("sub-sampled spectrum, f_s = 440 Hz");

clear

結語

  一般教科書提及取樣定理，都是指對基頻訊號的取樣，對帶通訊號取樣的理論則是草草帶過。本文對帶通訊號的取樣原理提出解釋，並且以 MATLAB 模擬證實該理論。實際應用上，由於 ADC 時脈的增加，在一些硬體上高達幾十 G sa/s，因此也有不少系統是採用 RF 直接取樣，一個 ADC 就有 mixer + sampler 的功能，這時候本文的解說就可以派上用場。

參考資料

[1] Wikipedia, “Undersampling”. Available: https://en.wikipedia.org/wiki/Undersampling

[2] electronics.stackexchange.com (forum), “ADC Input Frequency Bandwidth and Sampling Frequency”. Available: https://electronics.stackexchange.com/questions/601248/adc-input-frequency-bandwidth-and-sampling-frequency

  記得大二的電子實驗，我經常是最後一個離開實驗室的人，因為各種問題弄半天、最後還是助教勉為其難的降低實驗成果的標準(不然是要助教在實驗室過夜嗎)，我才通過這門必修課。從此，我和離散元件的電路結下不解之緣。

  明明手不是很巧、電路的概念不扎實，還是很喜歡欣賞各種電路設計，特別是業餘愛好者的作品。像是 CMoy 音訊放大器電路，小小的一片洞洞板就可以實作出如此精美的電路，而且其中還有許多學問，像是電阻的挑選、電源線路的設計，以及最重要的放大器 IC 的選擇；總覺得讓我讚嘆不已的或許不是電路本身，而是設計者傾注其中的巧思與熱情。

  這篇文章要介紹的便是 SDR 離散元件電路中一個極為天才的設計──Tayloe mixer，它可以用於零中頻 (zero IF) 的無線電收發機，正好適合作為 SDR 的 up/down converter。關於電路元件的介紹會盡可能省略，因為我不熟，數學的部分則會多一些。

文章資訊

Dan Tayloe, “Ultra Low Noise, High Performance, Zero IF Quadrature Product Detector and Preamplifier”. Available: https://www.norcalqrp.org/files/Tayloe_mixer_x3a.pdf

Tyloe Mixer 的原理

  首先來看看 Tayloe Quadrature Product Detector，電路圖如圖A。電路的運作如下：假設目標頻率為 $f_0$，則多工器切換的頻率為 $4f_0$，每一路輸出只會看到 1/4 週期的訊號。

  作者說明這個電路其實不能算是 mixer，應該算是一個切換積分器 (switching integrator)，看看這個 RC 電路應該就明白(也可以想成低通濾波器)。第一個電容的跨壓為相位 $0^{\circ}$ 的取樣值，第二個電容跨壓為相位 $90^{\circ}$ 的取樣值，以此類推。

  我們用數學來驗證它確實是一個 down converter。首先 RC 電路的輸出可以表示為(假設電容初始跨壓為 0)

$$
\begin{align}
V_c(t) &= e^{-\frac{t}{RC}} \int_{0}^{t}{e^{\frac{t’}{RC}} \frac{V_{in}(t’)}{RC}\ dt’}\\[10pt]
&\approx \frac{1}{RC} \int_{0}^{t}{V_{in}(t’)\ dt’}
\end{align}
$$

  (假設 $RC \gg 1 / f_0$) 確定是一個積分器。接著，假設輸入訊號(由 in-phase 和 quadrature 成分組成)可以表示為 $x(t) = x_I(t)\cos{(2\pi f_0 t + \theta)} - x_Q(t)\sin{(2\pi f_0 t + \theta)}$，計算第一顆電容在 1/4 週期後的輸出 ($a = RC$)：

$$
\begin{align}
r_1 &= \frac{1}{a} \int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{x(t)\ dt}\\[10pt]
&= \frac{1}{a} \int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{x_I(t)\cos{(2\pi f_0 t + \theta)} - x_Q(t)\sin{(2\pi f_0 t + \theta)}\ dt}\\[10pt]
&\approx \frac{1}{a}\left(x_I(t_0)\int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{\cos{(2\pi f_0 t + \theta)}\ dt} - x_Q(t_0)\int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{\sin{(2\pi f_0 t + \theta)}\ dt}\right)\\[10pt]
&= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(\cos{\beta} - \sin{\beta}) - x_Q(t_0)(\cos{\beta} + \sin{\beta})\right)
\end{align}
$$

  其中

$$
\beta = 2\pi f_0 t_0 + \theta
$$

  其他電容的輸出則是

$$
\begin{align}
r_2 &= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(-\sin{\beta} - \cos{\beta}) - x_Q(t_0)(\cos{\beta} - \sin{\beta})\right)\\[10pt]
r_3 &= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(-\cos{\beta} + \sin{\beta}) - x_Q(t_0)(-\sin{\beta} - \cos{\beta})\right)\\[10pt]
r_4 &= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(\sin{\beta} + \cos{\beta}) - x_Q(t_0)(-\cos{\beta} + \sin{\beta})\right)
\end{align}
$$

  各個切換積分器的輸出送到差分放大器，見圖B。經過簡單的加減，

$$
\begin{align}
I&:\ \ A(r_1 - r_3) = 2A r_1\\[10pt]
Q&:\ \ A(r_2 - r_4) = 2A r_2
\end{align}
$$

  得到 6 dB 的增益(和 Gemini 討論，差分放大器也可以消除共模雜訊或 DC漂移)。到這一步我們已經可以得到 in-phase 和 quadrature 的訊號成分，因為(令 $k = \sqrt{2}A / a\pi f_0$)：

$$
\begin{align}
I&:\ \ 2A r_1 = k \cdot {\cal Re}\lbrace (x_I(t_0) + jx_Q(t_0)) e^{j(\pi/4 + \beta)}\rbrace\\[10pt]
Q&:\ \ 2A r_2 = k \cdot {\cal Im}\lbrace (x_I(t_0) + jx_Q(t_0)) e^{j(\pi/4 + \beta)}\rbrace
\end{align}
$$

  即為 down-converted、旋轉後的 baseband complex sample，可以由 SDR 軟體處理。作者提到，這個 down converter 的 conversion loss 低於一般 mixer 的作法(甚至還有 6 dB 的增益)，相當吸引人。

  作者也提出 up converter 的設計，見圖C。其實就是反過來的設計、甚至更簡單，連 RC 電路都不用了，不過輸出端要一個 BPF。

  驗證其為 up converter：假設 in-phase 的 sample 為 $x_I$，quadrature 的 sample 為 $x_Q$，則 BPF 的輸出波形為

$$
x_r(t) = {\cal Re}\lbrace (x_I - jx_Q) e^{j(2\pi f_0 t - \pi / 4)}\rbrace
$$

  最後補充其他內容。作者提到 RC 電路的電阻和電容值的選擇會影響系統頻寬 (LPF 的 roll-off frequency)，也會影響振盪電路的 Q 值。作者還提到，反轉切換的順序可以得到 LSB/USB 的訊號(畢竟兩者的差異在於相位)，這個反轉可以用控制的 bit 的反轉來實現。

參考資料

[1] Gerald Youngblood (AC5OG), “A Software-Defined Radio for the Masses, Part 1”, QEX, Jul/Aug, 2002. Available: https://www.arrl.org/files/file/Technology/tis/info/pdf/020708qex013.pdf

  這篇是 Alamouti code 的原始論文，於1998年出版。Alamouti code 是一種 space-time block code (STBC)，在 MIMO-OFDM 等多天線系統廣泛應用。

論文資訊

Siavash M. Alamouti, “A Simple Transmit Diversity Technique for Wireless Communications”, IEEE Journal On Select Areas in Communications, Vol. 16, No. 8, Oct. 1998.

論文內容

  在本篇論文，作者提出一種新的 diversity 方法，並且將它與傳統的 MRRC 比較。因此論文首先介紹 MRRC，再闡明提出的新方法，並比較兩種方法的錯誤率表現。

背景介紹

  下世代通訊要求在多變的環境也能順利通訊，提高資料傳輸速率與通訊品質的同時，成本也必須維持住。因此，基地台的複雜度應該比行動裝置的複雜度更高。

  面對多路徑衰減，不考慮增加傳輸功率或是頻寬的話，diversity 是一個選項。Time diversity 在 slow fading 的情況效果不佳，frequency diversity 在 flat fading 的情況效果不好；antenna diversity 適用的範圍較廣，但是要應用在基地台而不是行動裝置，才符合經濟效益。其中一個例子是 space-time trellis coding，但是它的複雜度較高。

  這篇論文提出的方法在 Tx 有兩支天線，Rx 有一支天線，其 diversity order 與經典的 MRRC (Tx 一支天線，Rx 兩支天線)相同，複雜度低。這個方法可以有效對抗多路徑衰減，增加通訊系統的效能。

MRRC scheme

Maximal-Ratio Receive Combining (MRRC) 的基頻架構圖如圖A所示。

  MRRC 的作法為 ${\bf \tilde{s_0}} = {\bf h_0^* r_0} + {\bf h_1^* r_1} = (\alpha_0^2 + \alpha_1^2){\bf s_0} + {\bf h_0^* n_0} + {\bf h_1^* n_1}$，和之前論文看到的不太一樣，所以在附錄推導一次。Combining 的結果送去 ML detector，decision rule 為

$$
(\alpha_0^2 + \alpha_1^2 - 1)\lvert {\bf s_i}\rvert^2 + \lvert {\bf \tilde{s_0} - s_i}\rvert^2 \leq (\alpha_0^2 + \alpha_1^2 - 1)\lvert {\bf s_k}\rvert^2 + \lvert {\bf \tilde{s_0} - s_k}\rvert^2
$$

  則判斷為 $\bf s_i$。訊號為 PSK 的話，上式可以簡化為

$$
\lvert{\bf \tilde{s_0} - s_i}\rvert^2 \leq \lvert{\bf \tilde{s_0} - s_k}\rvert^2
$$

Alamouti 的新方法

Case 1, 2 Tx 1 Rx

  作者提出的新方法，架構圖如圖B所示。這個架構可以分為三個部分：

• Encoding & transmit sequence
• Combing scheme
• ML detection，這部分和 MRRC 是一樣的

  從圖B可知，transmit sequence 是一種 space-time coding，因為符號被安排在不同天線(空間)與不同區間(時間)。實際上也可以用 space-frequency coding。假設 Tx 0 傳送到 Rx 的 channel gain 為 ${\bf h_0} = \alpha_0 e^{j\theta_0}$，Tx 1 傳送到 Rx 的 channel gain 為 ${\bf h_1} = \alpha_1 e^{j\theta_1}$ (假設連續兩 symbol 期間通道不變)，則 Rx 收到的連續兩個 symbol 為

$$
\begin{align}
{\bf r_0} &= {\bf h_0 s_0} + {\bf h_1 s_1} + {\bf n_0}\\[10pt]
{\bf r_1} &= -{\bf h_0 s_1^{*}} + {\bf h_1 s_0^{*}} + {\bf n_1}
\end{align}
$$

  Combiner 的輸出為

$$
\begin{align}
{\bf \tilde{s_0}} &= {\bf h_0^{*} r_0} + {\bf h_1 r_1^{*}} = (\alpha_0^2 + \alpha_1^2){\bf s_0} + {\bf h_0^{*} n_0} + {\bf h_1 n_1^{*}}\\[10pt]
{\bf \tilde{s_1}} &= {\bf h_1^{*} r_0} - {\bf h_0 r_1^{*}} = (\alpha_0^2 + \alpha_1^2){\bf s_1} - {\bf h_0 n_1^{*}} + {\bf h_1^{*} n_0}
\end{align}
$$

  注意 combiner 的輸出和 MRRC combiner 輸出是一樣的，除了雜訊成分的相位，因此理論上效能也會和 MRRC 一樣。

Case 2, 2 Tx M Rx

  論文裡給出 M = 2 的例子。令 Tx 0 到 Rx 0 的 channel gain 為 $\bf h_0$，Tx 0 到 Rx 1 為 $\bf h_2$，Tx 1 到 Rx 0 為 $\bf h_1$，Tx 1 到 Rx 1 為 $\bf h_3$。Rx 0 和 Rx 1 第一組收到的 symbol 為 $({\bf r_0, r_2})$，第二組收到 $({\bf r_1, r_3})$。收到的 symbol 可以表示為

$$
\begin{align}
{\bf r_0} &= {\bf h_0 s_0} + {\bf h_1 s_1} + {\bf n_0}\\[10pt]
{\bf r_1} &= -{\bf h_0 s_1^{*}} + {\bf h_1 s_0^{*}} + {\bf n_1}\\[10pt]
{\bf r_2} &= {\bf h_2 s_0} + {\bf h_3 s_1} + {\bf n_2}\\[10pt]
{\bf r_3} &= -{\bf h_2 s_1^{*}} + {\bf h_3 s_0^{*}} + {\bf n_3}
\end{align}
$$

  而 combiner 的輸出為 (ML detector 的輸入)

$$
\begin{align}
{\bf \tilde{s_0}} &= {\color{yellow} {\bf h_0^{*} r_0} + {\bf h_1 r_1^{*}} } + {\color{magenta} {\bf h_2^{*} r_2} + {\bf h_3 r_3^{*}} }\\[10pt]
{\bf \tilde{s_1}} &= {\color{yellow} {\bf h_1^{*} r_0} - {\bf h_0 r_1^{*}} } + {\color{magenta} {\bf h_3^{*} r_2} - {\bf h_2 r_3^{*}} }
\end{align}
$$

  經過整理可以得知它的 diversity order 和 4-branch MRRC scheme 是一樣的。仔細觀察，可以發現 combiner 的輸出其實是兩支天線各自 combiner 輸出的和(式子裡以顏色區分)。

錯誤率模擬

  錯誤率如下圖C，調變方式為 coherent BPSK，通道為 uncorrelared Rayleigh fading，並且假設通道對於接收端為已知 (perfect knowledge)。由於發射端多了一個天線，但是總發射功率不變，因此每一支發射天線的功率減半。從圖C也看得出來，Alamouti code 和 MRRC 有著 3 dB 的差距，就是由於天線平均功率的減少。(不過實際上每個符號的傳送能量應該不變？)

實作上的考量

  前面提過單支天線傳輸功率減半，這其實有好處：可以用更輕巧便宜的功率放大器。關於天線的設置，主要的要求就是天線之間互不相關 (correlation 小於0.7)，跟天線之間的距離相關，發射與接收天線的設置基本上會是一樣的。

  訊號處理的部分，這篇論文假設通道對於接收端是已知的，可能是透過 pilot symbol 來估計。通道變化太快的話 (e.g. fast fading)，估計就會失準，所以 pilot symbol 的出現頻率至少要等於對通道的取樣率。此外，因為主要是發射端的天線數量增加，為了估計不同通道，pilot symbols 的數量也會增加。(相較之下，若是接收端天線數量增加、發射端維持一支天線，只需要一個 pilot symbol 就可以估計全部通道。)

  最後討論 soft failure。當接收端有好幾個天線，其中一個不能 work，接收端仍可以 decode 傳送的符號，只是效能降低，這就是 soft failure 的意思。那麼 Alamouti code 其實也是有這項特性的，以 two-branch 為例子，當一個發射端天線不能 work，系統就退化為 single-channel，還是可以運作。

結論

  這篇論文提出的方法不僅可以提供和 MRRC 一樣的 diversity order，且讓基地台而不是行動裝置來負擔硬體的複雜度(i.e. 天線數)。這個方法不需要 Rx 回傳 CSI 給 Tx，且運算複雜度和 MRRC 相仿。

讀後想法

  這篇論文相當簡潔有力，論述清楚，而且實用價值相當高，因為行動裝置(如手機)的硬體複雜度降低，有助於當時行動通訊和數據傳輸的發展。論文提出的方法，其數學描述也很簡單，應用於 massive MIMO 的話應該可以用矩陣描述，所以還是要好好複習線性代數。

附錄

  MRRC 的係數 $a$，$b$ 推導如下。假設 combiner 輸出為 ${\bf \tilde{s_0}} = a r_0 + b r_1$，則

$$
\begin{align}
{\bf \tilde{s_0}} &= a(h_0 s_0 + n_0) + b(h_1 s_0 + n_1)\\[10pt]
&= (a h_0 + b h_1)s_0 + a n_0 + b n_1
\end{align}
$$

  平均的 SNR 為

$$
\frac{\text{E}[\lvert(a h_0 + b h_1)s_0\rvert^2]}{\text{E}[\lvert a n_0 + b n_1\rvert^2]} = \frac{\lvert a h_0 + b h_1\rvert^2}{\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2} \frac{\text{E}[\lvert s_0\rvert^2]}{\text{E}[\lvert n_0\rvert^2]}
$$

  由柯西不等式 $\lvert a h_0 + b h_1\rvert^2 \leq (\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2) (\lvert h_0\rvert^2 + \lvert h_1\rvert^2)$，可知等號成立時的平均 SNR 會達到最大值，即

$$
[a\ \ b] = k [h_0^{*}\ \ h_1^{*}]
$$

  其中 $k$ 為大於零的實數常數。

參考資料

  無。

  這是一篇1959年的論文，作者任職於 MIT 的林肯實驗室，該單位與美國國防部合作進行許多研究計畫。原來六十多年前 diversity 的想法就已經有人探討了；不過話說回來，OFDM 也是幾十年前就提出的概念，這些技術得以實現，硬體的演進扮演關鍵角色。

  這篇論文說明三種當時已提出的 diversity 技法，可以用於雷達和導航系統，對軍方來說具有實用性。

論文資訊

D. G. Brennan, “Linear Diversity Combining Techniques”, PROCEEDINGS OF THE IRE, 1959, June.

論文內容

  Diversity 技巧是用來對付 fading 的。以下便來介紹三種現有(1959)的 diversity 技法，並且以 SNR 作為評估標準。

基礎假設

  這篇論文使用 local rms statistic，定義如下：

$$
x(t) = [\frac{1}{T}\int_{t - T}^{t}{[e(\tau)]^2 d\tau}]^{1/2} = \sqrt{\langle e^2\rangle}
$$

  (這不是常見的 ensemble average。) $T$ 在幾微秒到幾毫秒之間，”local” 指的就是在這樣短的時間區間內。Diversity combining techniques 可以分為兩類：predetection 或 postdetection。假設有 $N$ 個 diversity channels，$f_j(t)$ 為接收到的訊號(包含雜訊與干擾)，我們假設以下條件：

  (A) 雜訊為 additive 且獨立於傳輸訊號，$f_j(t) = s_j(t) + n_j(t)$。

  (B) $s_j(t)$ 為 locally coherent，即 $s_j(t) = x_j m(t)$，其中 $x_j$ 為實數，$\overline{s_j^2} = x_j^2 \overline{m^2} = x_j^2$。

  (C) $\overline{n_i n_j} = \overline{n_i}\ \overline{n_j}\ \ \text{if}\ i \neq j$ (locally)，$\overline{n_i} = 0$。

  (D) $x_j$ 在觀察區間 $T_1$ 內，不同 channel 之間為互相獨立，$T_1$ 在幾分鐘到幾小時之間。

  這裡假設 $x_j$ 為 Rayleigh 分布(就 $T_1$ 尺度的觀察而言)。基本上，經過 combination 的訊號形如

$$
f(t) = a_1 f_1(t) + \cdots + a_N f_N(t) = \sum_{j = 1}^{N}{a_j f_j(t)}
$$

Selection Diversity

  假設 local noise power 為常數，$\overline{n_j^2} = 1$，$E[x_j^2] = 1$，則 power ratio $P_j = x_j^2 / \overline{n_j^2}$ 的 pdf 為 $g(p_j) = e^{-p_j}$。Selection combining 的作法是找到 local power ratio 最大的 channel，$P = \text{max } P_j$，$k = \text{arg }\max_j\ P_j$，並切換到該 channel，即

  因此，$P$ 的 cdf 為 $\text{Prob}[P \leq p] = (1 - e^{-p})^N$，mean 為 $E[P] = \sum_{k = 1}^{N}{\frac{1}{k}}$。

Maximal-Ratio Diversity

  由柯西不等式可得

$$
\begin{align}
(\sum_{j = 1}^{N}{a_j x_j})^2 &\leq (\sum_{j = 1}^{N}{a_j^2 \overline{n_j^2}})\ (\sum_{j = 1}^{N}{\frac{x_j^2}{\overline{n_j^2}}})\\[10pt]
&= (\sum_{j = 1}^{N}{a_j^2 \overline{n_j^2}})\ (\sum_{j = 1}^{N}{P_j})
\end{align}
$$

  把訊號和雜訊的部分分別整理為

$$
s(t) = \sum_{j = 1}^{N}{a_j s_j(t)},\ \ n(t) = \sum_{j = 1}^{N}{a_j n_j(t)}
$$

  得到 $f(t) = s(t) + n(t)$，$f(t)$ 的 local power ratio 為 $P = \frac{\overline{s^2}}{\overline{n^2}}$。經過一番推導，可以得到 $P \leq \sum_{j = 1}^{N}{P_j}$，也就是說 power ratio 的最大值為 $\sum_{j = 1}^{N}{P_j}$，發生於 $a_j = x_j / \overline{n_j^2}$ (from 柯西不等式)。

  假如 $E[P_j] = 1$，則 $E[P] = N$，和 selection combining 比較，maximal-ratio combining 更能善用 diversity 的優勢。$P$ 的分布為 Gamma distribution。

Equal-Gain Diversity

  Equal-gain combining 的作法就是 $a_j = 1$。根據條件 (B)，$\overline{s^2} = (\sum_{j = 1}^{N}{x_j})^2$，$\overline{n^2} = \sum_{j = 1}^{N}{\overline{n_j^2}} = \sum_{j = 1}^{N}{1} = N$，local power ratio 為

$$
P = \frac{(\sum_{j = 1}^{N}{x_j})^2}{N}
$$

  至於 mean local power ratio，注意

$$
P = \frac{1}{N} (\sum_{j = 1}^{N}{x_j^2} + \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{x_i x_j}})
$$

  故

$$
\begin{align}
E[P] &= \frac{1}{N} (\sum_{j = 1}^{N}{E[x_j^2]} + \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{E[x_i] E[x_j]}})\\[10pt]
&= 1 + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{r^2}}\\[10pt]
&= 1 + (N - 1) r^2
\end{align}
$$

  因為 $x_j$ 互相獨立，且 $E[x_j^2] = 1$，$E[x_j] = r$。Equal-gain combining 和 max-ratio combining 都是 N 的線性函數，但斜率不同。

效能比較

  首先比較 mean local power ratio，以 single channel (沒有使用 diversity)的 mean power ratio為基準(圖C)。

  接著比較 $N = 2$ 的情況下，local power 的分布，見圖D。圖D的橫軸為「power level 大於對應 level 值的機率」，縱軸為「相對於 single-channel power median 的 power level」(dB 尺度)，其實就是呈現 local power 的機率分布，把累積分布圖的橫軸和縱軸對調、尺度調整就可以得到。(這裡我混用 SNR 和 power，因為兩者的值一樣。)

  論文也給出 $N = 3, 4, 6, 8$ 的比較，隨著 $N$ 愈大，selection combining 的表現落後 max-ratio 和 equal-gain 愈多。

其他情況的討論

  論文後半部討論不同條件下的 combining techniques，並提出對應的修正。這些條件如下：

• 當 $x_j$ 並非 Rayleigh 分布
• 當不同 channel gain 並非不相關(因此也不是互相獨立)
• 當 $\overline{n_j^2}$ 不再固定為常數
• 當 $\overline{n_i n_j} = 0$ 的假設不再成立
• pre-detection 和 post-detection 的討論
• 長期觀察下的系統變異 (variability)
• 當 $s_j(t)$ 為 locally coherent 的假設不再成立
• 一些其他討論

  這裡只呈現 correlated fading，以及 pre-detection 和 post-detection 的討論。其他部分請參考論文。

  首先是 correlated fading。論文呈現 $N = 2$，selection diversity 方法的 local power 分布情況(呈現方式如圖D)，當相關係數 $\rho$ 愈趨近於1，分布函數就愈往低功率的方向移動(i.e. 指定發生機率，對應到的 power level 愈小)。至於 mean local power，maximal-ratio 的方法不受到 correlated fading 的影響 ($P = \sum_{j = 1}^{N}{P_j}$)；equal-gain 方法則會隨著相關係數愈趨近於1，其效果愈趨近於 maximal-ratio scheme。還記得 equal-gain scheme 的 mean local power (correlated fading 的情況)：

$$
\begin{align}
E[P] &= 1 + \frac{1}{N}\sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{E[x_i x_j]}}\\[10pt]
&= 1 + \frac{1}{N}\sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{\left(\sigma_x^2 \rho_{ij} + E[x_i] E[x_j]\right)}}\\[10pt]
&= 1 + \frac{1}{N}\sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{\left((1 - E[x_i]^2) \rho_{ij} + E[x_i] E[x_j]\right)}}\\[10pt]
&= 1 + \frac{1}{N}\sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{\left(\rho_{ij} (1 - r^2) + r^2\right)}}
\end{align}
$$

當 $\rho_{ij} \rightarrow 1$，

$$
\begin{align}
\lim_{\rho_{ij} \rightarrow 1}E[P] &= 1 + \frac{1}{N}\sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{\left(1 - r^2 + r^2\right)}}\\[10pt]
&= 1 + (N - 1) = N
\end{align}
$$

  而 selection diversity 方法則是相反，相關係數愈趨近於1，mean local power 愈小。這個論文沒有仔細說明，不過可以直覺的想：任兩個通道高度相關的話，不管選擇哪一個通道差別都不大，因此會趨近於單通道的表現，i.e. 失去 diversity 的優勢。

  接著來討論 pre-detection 和 post-detection 的差異。Pre-detection 需要加上調整相位的電路，才能保證滿足前述的條件 (B)。對於 FM 系統，由於 threshold effect 導致 detector 輸出的變動，不適合使用 post-detection (特別是 equal-gain combiner)。這是比較實務上的考量。

結論

  並沒有所謂「最佳的 diversity 系統」，應該要根據不同的條件來選用不同的 combining 技巧。不過考慮到複雜度和效能，equal-gain combining 應該會成為主流。(按：1959年的結論。)

讀後想法

  這篇論文的年代久遠，是類比通訊的時代，所以幾乎沒有對數位通訊的討論。不過基本的概念還是可以套用在數位通訊，比如說把 local rms value 改為 discrete statistic、SNR 轉換為 BER，應該可以從數位通訊的角度來檢視 diversity combining techniques。

附錄

  AGC (Automatic Gain Control) 是一種 closed-loop feedback 電路，常見於收音機的接收機電路(例如接收 AM 訊號)。AGC 在訊號強度小時增加增益、訊號強度大時減少增益，確保接收機輸出到喇叭的音量動態範圍是合適的。

參考資料

[1] wikipedia, “自動增益控制”. Available: https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%87%AA%E5%8A%A8%E5%A2%9E%E7%9B%8A%E6%8E%A7%E5%88%B6

[2] Robert Keim, “Understanding Automatic Gain Control”, allaboutcircuits.com. Accessed in Feb. 2016. Available: https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/understanding-automatic-gain-control/

Content

介紹 OFDM 系統不可或缺的 CP。其實我也不知道為什麼要特地把 CP 的介紹獨立為一篇文章，也許是因為 OFDM 系統非常依賴 CP 的緣故吧！並且 CP 的概念也用在其他調變方式，如 OTFS，所以深入理解 CP 絕對是有利無害的。

以下是OFDM筆記全系列的文章：

• OFDM筆記-1: OFDM簡介
• OFDM筆記-2: 通道模型
• OFDM筆記-3: OFDM模擬-Python
• OFDM筆記-4: OFDM模擬-C++
• OFDM筆記-5: Cyclic Prefix
• OFDM筆記-6: 待解決的問題

  CP 作為 guard interval，將 linear convolution 轉變為 circular convolution、進而簡化 OFDM 接收端等化器設計的故事，大家已經耳熟能詳了。所以這篇文章會介紹 CP 的其他應用。

同步

  OFDM 在頻率上 (carrier frequency offset，CFO) 以及時間上 (symbol timing offset，STO) 都需要同步，否則無法還原傳送的符號。這一節分享的是[1]這篇 1997 年的經典論文，同時處理 CFO 和 STO 的問題。在過去的文獻(相較於此論文)裡，Moose (1994) 假設 STO 為已知，在頻域計算 CFO 的 ML 估計，不過有一些 training symbol 長度的限制；Nogami (1995) 等人採用加入 null symbol 來估計 STO 的方法，但是這個方法在傳送 burst 的時候不管用。這篇論文改良 Classen (1994) 的做法，一種方法解決兩個問題。

  讀完才發現這篇論文其實不是 CP 的應用，不過姑且還是和 CP 有關。論文首先說明如何解決 STO，接著描述如何解決 CFO，兩者都是基於一組 training sequence 的設計。

STO

  在一個 frame 的開頭設計一個 training symbol，稱作 TS1。TS1 的 useful part 長度為 2L，前 L 個 sample 和後 L 個 sample 一模一樣。這要如何得到？回想一下，如果在時域作 upsampling 兩倍，對應到頻域就是頻譜相對原點收縮兩倍。根據對偶性，在頻域作 upsampling 兩倍，就會對應到時域重複的兩半。

  接收端收到基頻的 sample $r_i$ 後，計算長度為 2L 的 sliding window 裡，前半和後半的 correlation ($d$ 為 sliding window 裡第一個 sample 時間)，

$$
\begin{align}
&P(d) = \sum_{m = 0}^{L - 1}{r_{d + m}^{*} r_{d + m + L}}\\[10pt]
&P(d + 1) = P(d) + r_{d + L}^{*} r_{d + 2L} - r_{d}^{*} r_{d + L}
\end{align}
$$

  如果 start time 完全沒有誤差，或是在 CP 長度減去通道長度的範圍內(見圖B)，$\lvert P(d)\rvert$ 都會是最大值。定義 $R(d) = \sum_{m = 0}^{L - 1}{\lvert r_{d + m + L}\rvert^2}$ 作為正規化的常數，我們可以定義 timing metric $M(d)$ 來表示 STO 造成的影響，

$$
M(d) = \frac{\lvert P(d)\rvert}{R(d)}
$$

  圖C呈現 start time 與 timing metric 的關係，$N_{\text{fft}} = 1024$，$N_{\text{CP}} = 128$。注意到有一段平坦的區間，就是前述 CP 形成的範圍，start time 在這段區間內誤差為零(但會引入固定的相位差)。

  假設接收到的 sample 可以分為訊號和雜訊的成分，$r_i = s_i + n_i$，$E\left[\lvert s_i\rvert^2\right] = 2\sigma_s^2$，$E\left[\lvert n_i\rvert^2\right] = 2\sigma_n^2$。經過一番推敲，論文提出在 correct timing 的情況下，timing metric 為常態分布，期望值為

$$
E\left[M(d_{\text{opt}})\right] = \frac{\sigma_s^2}{\sigma_s^2 + \sigma_n^2}
$$

  意味著 SNR 愈大，$E\left[M(d_{\text{opt}})\right]$ 愈趨近於 1，很合理。論文也提出對 SNR 的一個估計器，

$$
\hat{\text{SNR}} = \frac{M(d_{\text{opt}})}{1 - M(d_{\text{opt}})}
$$

  這個估計器在低 SNR 時比較準確。因此，接收端可以從 timing metric 來估計 SNR，判斷是否解讀訊號，或是將 SNR 的資訊回傳給發射端(雖然這好像和 start time 的選取比較沒關係)。

  論文提供兩個尋找最佳 start time 的方法：找 timing metric 最大值的時間點，或是找最大值左右兩個 90% 最大值的點，再取兩點中心。後者的效果比較好，不過兩種方法都要求先找到峰值。

CFO

  假設 CFO 為 $\Delta f$，則 TS1 的前後半剛好相差一個固定的相位 $\phi = \pi T\Delta f$，$T$ 是子載波間距的倒數。$\phi$ 可以由前面提到的 $P(d)$ 來估計(假設 STO 的問題已經解決)，

$$
\hat{\phi} = \angle P(d)
$$

  然而這裡有個問題：如果實際的頻率位移 $\lvert\Delta f\rvert > \frac{1}{T}$，單從 $\hat{\phi}$ (定義在 $-\pi$ 到 $\pi$ 之間)是無法得知的。更一般的情形可以寫作

$$
\Delta f = \frac{\hat{\phi}}{\pi T} + \frac{2k}{T}
$$

  可以看成是整數部分和小數部分的表示。要估計 $\Delta f$，我們需要第二個 training symbol TS2。TS2 的每一個子載波皆載有 PN 序列 (TS1 則只有偶數編號的子載波載有 PN 序列)。首先先補償 $\hat{\phi} / \pi T$ 的相位差，接下來的目標就是估計 $2k / T$。

  令 $X_{1, i}$ 和 $X_{2, i}$ 分別表示 TS1 和 TS2 各個子載波承載的符號，當然 $X_{1, i}$ 只有在 $i$ 為偶數的時候有值；$X_{2, i}$ 則是每個 $i$ 都有值。定義 $v_i$ 為 $X_{2, i} / X_{1, i}$，$i$ 為偶數，也就是說它是 differential 的。現在來看看 $v_i$ 在頻率位移下的變化：頻率位移後，$v_i’ = v_{(i + 2k)_N}$，經歷了 cyclic shift，所以 correlation 的概念一樣可以用於頻率位移的估計。定義頻率位移 metric 為

$$
B(k) = \frac{\lvert\sum{ {X’_{1, (i + 2k)_N}}^{*}\ {v’_i}^{*}\ X’_{2, (i + 2k)_N}}\rvert^2}{2\left(\sum{\lvert X_{2, i}\rvert^2}\right)}
$$

  而 $\hat{k} = \arg{\max_{k}{B(k)}}$。看起來有點複雜，不過和 timing metric 的概念是一樣的，就有點像齒輪的嵌合，選擇合適的 $\hat{k}$ 就可以讓 $B(k)$ 分子的每一項相位為零。這部分好像比較像是 detection 而不是 estimation。

通道估測

  CP 也可以用於通道估測。這一節分享[2]這篇 1999 年的論文，使用 CP 來作 blind channel estimation，也就是不使用 training symbol 的作法。論文首先強調 CP-OFDM 時域波型的 cyclostationarity 性質。令 $P = N + N_{\text{cp}}$，並以 polyphase representation 來表示哪一個 block 的哪一個 sample，$x_p[n] = x[n P + p]$。據此，OFDM 時域波型可以寫為

$$
x_p[n] = \frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1}{s_m[n] e^{j\frac{2\pi}{N} m(p - N_{\text{cp}})}},\ \ 0 \leq p \leq P - 1
$$

  而其自相關函數可以寫為(假設 $E\left[s_m[n] s^{*}_r[n]\right] = \sigma_s^2 \delta[m - r]$)

$$
\begin{align}
c_{xx}[nP + p;\ \tau] &= E\left[x_{p + \tau}[n] x^{*}_p[n]\right] \sum_{\zeta = 0}^{P - 1}{\delta[\zeta - (p + \tau)]}\\[10pt]
&= \frac{1}{N^2} \sum_{m = 0}^{N - 1}{\sum_{r = 0}^{N - 1}{E\left[s_m[n] s^{*}_r[n]\right] e^{j\frac{2\pi}{N} m(p + \tau - N_{\text{cp}})} e^{-j\frac{2\pi}{N} r(p - N_{\text{cp}})}}} \sum_{\zeta = 0}^{P - 1}{\delta[\zeta - (p + \tau)]}\\[10pt]
&= \frac{\sigma_s^2}{N^2} \sum_{m = 0}^{N - 1}{e^{j\frac{2\pi}{N} m\tau}} \sum_{\zeta = 0}^{P - 1}{\delta[\zeta - (p + \tau)]}\\[10pt]
&= \frac{\sigma_s^2}{N} \left(\delta[\tau] + \delta[\tau - N]\sum_{\zeta = 0}^{P - N - 1}{\delta[\zeta - p]} + \delta[\tau + N]\sum_{\zeta = N}^{P - 1}{\delta[\zeta - p]}\right)
\end{align}
$$

  $\sum{\delta[\zeta - (p + \tau)]}$ 是用來限制 $0 \leq p + \tau \leq P - 1$ (我還是第一次看到這種操作)。上面這個式子說明 $c_{xx}$ 是 $p$ 和 $\tau$ 的函數，但是注意它不是 $n$ 的函數，表示每經過週期 $P$，$c_{xx}$ 就會開始重複，因此為 cyclostationary。

  經過 LTI 系統，cyclostationarity 的性質不變，就不附上推導過程了 ($L$ 是通道長度)：

$$
c_{rr}[nP + p;\ \tau] = \sum_{\zeta = 0}^{L - 1}{\sum_{\substack{q =\\ \tau - \zeta - (L - 1)}}^{\tau - \zeta}{h[\zeta] h^{*}[\zeta - \tau + q] c_{xx}[nP + p - \zeta;\ q]}} + \sigma_n^2 \delta[\tau]
$$

  計算它的 DTFS expansion $C_{rr}[k;\ \tau]$，論文作者稱其為 cyclic correlation。基本上，時域的自相關函數對應到頻域的功率頻譜，不過 cyclic correlation 描述時間變數 $p$ 的週期性質，而不是時間差變數 $\tau$，所以不能解讀為功率頻譜；$C_{rr}[k;\ \tau]$ 可以理解為「變化週期為 $P / k$ 的自相關模式」。說真的搞不太懂它的物理意義。

$$
C_{rr}[k;\ \tau] = \frac{1}{P} \sum_{p = 0}^{P - 1}{c_{rr}[nP + p;\ \tau] e^{-j\frac{2\pi}{P} kp}}
$$

  最後，再對時間差變數 $\tau$ 作 z-transform，得到 $S_{rr}(k;\ z)$ (cyclic spectrum)。由於 $C_{rr}$ 可以寫成

$$
C_{rr}[k;\ \tau] = \left(h[\tau] e^{-j\frac{2\pi}{P} k\tau}\right) \star h^{*}[-\tau] \star C_{xx}[k;\ \tau]
$$

  故

$$
S_{rr}(k;\ z) = H(e^{j\frac{2\pi}{P} k} z) H^{*}((z^{-1})^{*}) S_{xx}(k;\ z)
$$

  $S_{xx}$ 為已知，$S_{rr}$ 則可以在接收端得到(估計)，$H(z)$ 則可以透過選取兩個合適的 $k_i$，再經過一番運算得到。圖D呈現 $L = 7$，$N = 64$，$N_{\text{cp}} = 8$ 的情況下，$\lvert S_{rr}\rvert$ 的形狀。($z$ 由 $e^{j\omega}$ 代換。)

  這篇論文我覺得讀來相當吃力，也許是耐不住性子慢慢推導吧，和 Google Gemini 討論才對它有些想法。簡單來說，因為加入了 CP，傳送訊號與接收訊號為 cyclostationary，等於是增加了不同 $k_i$ 所提供的條件(資訊)，方能解出 $H(z)$。Blind estimation 不使用 pilot symbol，因此最大化既有的頻譜使用效率；但是估計 $S_{rr}$ 需要時間，無法應用於高速變化的通道，演算法複雜度高，不如 pilot-aided 的方法簡單有效。不過，在不可能知道 pilot 資訊的情況下，如監偵軍事情報，可能還是需要 blind estimation (thoughts from Google Gemini)。

其他

  這一節我們提出一個問題：OFDM 難道就非 CP 不可嗎？ 在[3]這篇論文中提出用於 ZP-OFDM 系統的等化器設計，也比較了 CP 和 ZP 的優缺點。這篇論文以相當簡潔的方式表示 CP-OFDM：假設傳送的第 $i$ 個 block 符號為 ${\bf s}(i)$，則接收到的 sample 可以寫作

$$
{\bf r}(i) = {\rm H} {\rm F}_{\text{cp}} {\bf s}(i) + {\rm H}_{\text{IBI}} {\rm F}_{\text{cp}} {\bf s}(i - 1) + {\bf n}(i)
$$

  當中 ${\rm F}_{\text{cp}}$ 是加上 CP 部分的 IDFT 矩陣，$\rm H$ 是代表通道的下三角矩陣，${\rm H}_{\text{IBI}}$ 是代表 inter-block interference 的上三角矩陣。ZP-OFDM 也是一樣的形式：

$$
\begin{align}
{\bf r}(i) &= {\rm H} {\rm F}_{\text{zp}} {\bf s}(i) + {\rm H}_{\text{IBI}} {\rm F}_{\text{zp}} {\bf s}(i - 1) + {\bf n}(i)\\[10pt]
\text{(ZP 作為 postfix)}\ &= {\rm H} {\rm F}_{\text{zp}} {\bf s}(i) + {\bf n}(i)\\[10pt]
&= {\rm H_0} {\rm F}_N^H {\bf s}(i) + {\bf n}(i)
\end{align}
$$

  其中 $\rm H_0$ 由 $\rm H$ 的前 $N$ 個行向量組成，也是因為將 ZP 作為 postfix 而得以簡化。注意 $P\times N$ 矩陣 $\rm H_0$ 的行向量為線性獨立，因此可以計算它的 left inverse $\rm H_0^{\dagger}$ 還原時域訊號 (ZF equalizer)。相較於 CP-OFDM 在頻域執行 one-tap equalization，ZP-OFDM 在時域的 equalizer 不會有 deep-fading 的問題，因此可以還原每一個子載波的符號 (full diversity gain)；當然 CP-OFDM 的接收機複雜度就比 ZP-OFDM 簡單許多，正所謂 trade-off 不可避，好的 performance 一定伴隨著相當的代價。

  論文提出兩種 ZP-OFDM 的等化器設計，ZP-OFDM-OLA 和 ZP-OFDM-FAST，後面的十頁大家就自己去讀。從圖表得到的結論是，ZP-OFDM-OLA 的效果和 CP-OFDM 差不多，ZP-OFDM-FAST 的錯誤率在未編碼的情況下比 CP-OFDM 多出 2 ~ 3 dB 的增益，有編碼的話差異就減少到 1 dB 以內；不過模擬預設的通道也可能是 performance 差異的重要原因。

結語

  我一直覺得 CP 是很優美的設計，它的形式很簡單，功能卻非常強大。雖然本文舉出 CP-OFDM 的一些缺點，但是別忘了LTE-advanced、5G 和 Wifi 都是基於 CP-OFDM，顯然經過工程考量，CP 還是比較有優勢的。也許在 OTFS 系統，CP 也能大展身手。

參考資料

[1] T. M. Schmidl and D. C. Cox, “Robust frequency and timing synchronization for OFDM,” in IEEE Transactions on Communications, vol. 45, no. 12, pp. 1613-1621, Dec. 1997.

[2] R. W. Heath and G. B. Giannakis, “Exploiting input cyclostationarity for blind channel identification in OFDM systems,” in IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 47, no. 3, pp. 848-856, March 1999.

[3] B. Muquet, Zhengdao Wang, G. B. Giannakis, M. de Courville and P. Duhamel, “Cyclic prefixing or zero padding for wireless multicarrier transmissions?,” in IEEE Transactions on Communications, vol. 50, no. 12, pp. 2136-2148, Dec. 2002.