OFDM筆記-2: 通道模型
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來聊聊通道模型與通道估測。更深入的討論請見本站的其他文章，如這篇。
以下是OFDM筆記全系列的文章：
OFDM 通道五四三
在前一篇「OFDM筆記-1: OFDM簡介」已經提到過 OFDM 的訊號模型與接收機架構。OFDM 是一個多載波調變的系統，在不同的子載波上承載資料，可以有效對抗多路徑通道 frequency-selective 的特性。不過相對的，OFDM 系統對於 Doppler spread 的挑戰就嚴峻得多，因為單一子載波的頻寬減少、時域的符號區間增加，受到時變通道的影響會更大。表A呈現 WiMAX 系統的通道參數，在高速移動的條件下，OFDM 需要良好的通道估測方法，才能及時更新通道資訊(或是增加系統頻寬、縮短符號區間。)
| 載波頻率 | 速率 | Doppler 頻率 | Coherence Time |
|---|---|---|---|
| 2.5 GHz | 2 km/hr | 4.6 Hz | 200 ms |
| 2.5 GHz | 45 km/hr | 104.2 Hz | 10 ms |
| 2.5 GHz | 100 km/hr | 231.5 Hz | 4 ms |
| 5.8 GHz | 2 km/hr | 10.7 Hz | 93 ms |
| 5.8 GHz | 45 km/hr | 241.7 Hz | 4 ms |
| 5.8 GHz | 100 km/hr | 537 Hz | 2 ms |
Empirical path loss models
這一節就來介紹一些基於實證資料的 path loss 通道模型，內容主要來自[1]這篇教學文章，是 2007 年的資料，所以主要面向當時的通訊系統 (2G 及 3G)。Path loss 的考量對於 OFDM 雖然並非主要，但是對於整個通訊系統卻是不可或缺的。
Hata Model
1980 年 Hata 根據 Okumura 的量測資料，提出以下 path loss 的數學模型：
$$
\begin{align}
PL_{\text{urban}} (d)\ \ (\text{dB}) = 69.55 &+ 26.16 \log_{10}{(f_c)} - 13.82 \log_{10}{(h_t)}\\[10pt]
&- a(h_r) + (44.9 - 6.55 \log_{10}{(h_t)}) \log_{10}{(d)}
\end{align}
$$
其中 $f_c$ 為載波頻率，$h_t$ 和 $h_r$ 分別為發射與接收天線的高度，$a(h_r)$ 是一個校正項。這個模型的適用頻率範圍為 150 ~ 1500 MHz，適用情境為較大的細胞 (cell) 以及 1G 通訊系統。
COST 231-Walfish-Ikegami Model
由歐洲科技研究合作網路 (COST) 提出，基於 Walfish 和 Ikegami的模型，考慮到建築高度、道路寬度、建築間距以及道路方向等變數；不過還是假設較為均質、平坦的環境。對於 LOS 的路徑，path loss 表示為
$$
PL (d)\ \ (\text{dB}) = 42.6 + 26 \log_{10}{(d)} + 20 \log_{10}{(f_c)}
$$
其中 $d \geq 0.02$ 的單位為公里，$f_c$ 的單位為 MHz。對於 NLOS 的路徑，path loss 由 free space path loss $PL_0$、multi-screen loss $L_{\text{msd}}$ 以及最後一片屋頂轉角導致的繞射成分 $L_{\text{rts}}$ 組成：
$$
PL =
\begin{cases}
\begin{align}
&PL_0 + L_{\text{msd}} + L_{\text{rts}}&,\ \text{for}\ L_{\text{msd}} + L_{\text{rts}} > 0\\[10pt]
&PL_0&,\ \text{for}\ L_{\text{msd}} + L_{\text{rts}} \leq 0
\end{align}
\end{cases}
$$
這個模型的適用頻率範圍為 800 ~ 2000 MHz，適用距離為 0.02 ~ 5 km，另外還有天線高度的限制：BS 天線高度在 4 ~ 50 m 之間，MS 天線高度在 1 ~ 3 m 之間。因此，5G 以後的通訊系統可能不適合使用這個模型。
Multipath models
這一節介紹多路徑通道的通道模型。在「OFDM 通道五四三」這一節，提到 OFDM 系統雖然可以有效對抗 ISI，但是在高速移動的環境(如高鐵、飛機及衛星通訊)下，Doppler spread 導致的 ICI 影響非常嚴重。在設計收發機演算法時，必須要考量到這些通道的特性。
SUI Channel Models
在教學文章[1]中稱其為 path loss model，不過這個模型包含對 delay spread 的描述，屬於 small-scale fading 的範疇。這個通道模型根據地形、有無 LOS 成分、delay spread 情形、Doppler spread 情形分為六種通道 SUI-1 ~ SUI-6。地形分為三種，是基於美國內陸的地貌特徵：A型為樹林覆蓋的山丘區域，路徑損耗較高；B型為樹林覆蓋的平地或是植被稀疏的山丘；最後，C型為植被稀疏的平地，路徑損耗較低。
模型將多路徑描述為 3 個 tap delay，每個 tap gain 為 Rician 分布(基於 Jake’s model)，
$$
f(r) = \frac{r}{\sigma^2} e^{-\frac{r^2 + A^2}{2\sigma^2}} I_0(\frac{rA}{\sigma^2})
$$
LOS 的成分由 K-factor (或稱 Rician factor) 描述，
$$
K = \frac{A^2}{2\sigma^2}
$$
當 $A = 0$，channel gain 便退化為 Rayleigh fading。SUI model 模擬 MIMO 的系統，考慮到不同天線訊號之間的相關性(或 co-channel interference)。因此，在建立 SUI model 時，使用到三個矩陣：input mixing matrix、TDL matrix 以及 output mixing matrix。表B摘錄 SUI-1 channel model 的部分參數。
| 參數 | Tap 1 | Tap 2 | Tap 3 | 單位 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Delay | 0 | 0.4 | 0.9 | $\mu s$ | |||||
| Power (omni ant.) | 0 | -15 | -20 | dB | |||||
| 90% K-factor (omni) | 4 | 0 | 0 | linear | |||||
| 75% K-factor (omni) | 20 | 0 | 0 | linear | |||||
| Power ($30^\circ$ ant.) | 0 | -21 | -32 | dB | |||||
| 90% K-factor ($30^\circ$) | 16 | 0 | 0 | linear | |||||
| 75% K-factor ($30^\circ$) | 72 | 0 | 0 | linear | |||||
| Antenna Correlation: $\rho_{\text{env}}$ = 0.7 | Terrain Type: C | ||||||||
| Normalization factor: $F_{\text{omni}}$ = -0.1771 dB | Omni antenna: $\tau_{\text{rms}}$ = 0.111 $\mu s$ | ||||||||
| $F_{30^\circ}$ = -0.0371 dB | $30^\circ$ antenna: $\tau_{\text{rms}}$ = 0.042 $\mu s$ | ||||||||
其中「90% K-factor」指的是細胞中 90% 的面積接收到的 K-factor 大於等於該基準值。SUI models 適用頻率範圍為數百 MHz (參考 Erceg model 的適用頻率)，適用範圍為 7 km，對於天線波束寬度 (omni-direction 或是 $30^\circ$) 也有限制，且僅適用於垂直偏振的電磁波。
ITU Path Loss Models
國際電信聯盟的 ITU-R recommendation M.1225 中記載此通道模型，作為 3G 系統的設計參考。該模型區分出三種測試環境：室內-辦公室、室外到室內-行人以及車載-高天線，又區分出低延遲 (A) 和中等延遲 (B) 兩種延遲條件；Doppler spread 的部分則是 classic spectrum (i.e. Jake’s model)。表C摘錄車載環境的通道參數。
| Tap | 通道 (A) | 通道 (B) | ||
|---|---|---|---|---|
| Relative delay (ns) | Average power (dB) | Relative delay (ns) | Average power (dB) | |
| 1 | 0 | 0.0 | 0 | -2.5 |
| 2 | 310 | -1.0 | 300 | 0 |
| 3 | 710 | -9.0 | 8900 | -12.8 |
| 4 | 1090 | -10.0 | 12900 | -10.0 |
| 5 | 1730 | -15.0 | 17100 | -25.2 |
| 6 | 2510 | -20.0 | 20000 | -16.0 |
3GPP LTE propagation channel model
3GPP 的技術文件 TS 36.101 及 TS 36.104 記載了多路徑通道與時變通道的規格，主要用於 LTE 系統。以下資料則是來自 MATLAB 官方網站 help center 的教學文件。之後有時間再從 3GPP 技術文件來看。
首先介紹三個多路徑通道模型：Extended Pedestrian A model (EPA)、Extended Vehicular A model (EVA) 以及 Extended Typical Urban model (ETU)，以 PDP 的形式呈現。表D為 EVA 模型的參數，總共有 9 個 tap；仔細觀察，可以發現它是衍生自前述的 ITU path loss model (表C)。
| Excess tap delay (ns) | Relative power (dB) | Excess tap delay (ns) | Relative power (dB) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.0 | 710 | -9.1 |
| 30 | -1.5 | 1090 | -7.0 |
| 150 | -1.4 | 1730 | -12.0 |
| 310 | -3.6 | 2510 | -16.9 |
| 370 | -0.6 |
除了 delay spread 的描述，也提出 5 Hz 或 70 Hz 的 Doppler frequency (ETU 則是 300 Hz)，採用 classic spectrum。
接著是高速鐵路面對的 Doppler shift。技術文件提出一個理想的情況：在高鐵軌道沿線架設基地台 (在 LTE 的 case 是 eNodeB)，基地台間距為 $2 D_s$，基地台距離軌道 $D_{\text{min}}$。則單一路徑的 Doppler shift 可以表示為 ($f_d$ 為 Doppler frequency)
$$
f_s(t) = f_d \cos{\theta(t)}
$$
Doppler shift 是時間的函數，其中
$$
\cos{\theta(t)} =
\begin{cases}
\begin{align}
\frac{D_s / 2 - vt}{\sqrt{D_{\text{min}}^2 + (D_s / 2 - vt)^2}}&,\ \ 0 \leq t \leq D_s / v\\[10pt]
\frac{vt - 3 D_s / 2}{\sqrt{D_{\text{min}}^2 + (vt - 3 D_s / 2)^2}}&,\ \ D_s / v < t \leq 2 D_s / v
\end{align}
\end{cases}
$$
因此 Doppler shift 會週期性的振盪，週期為 $2D_s / v$，這是因為沿線都有架設基地台。這個模型雖然經過簡化、比較理想，對於高速鐵路的通訊系統設計還是提供不少 insight。
最後，在技術文件裡還定義了 channel correlation matrices，使用 Kronecker product 來描述 MIMO 系統中發射/接收天線之間的相關性。詳細資訊請參考[2]。
結語
有關 OFDM 的通道大概就介紹到這裡，還有很多通道模型沒有提及，有待日後補充。此外，因應新興技術(如 OTFS)而發展的通道模型也有很多，之後再談吧。
參考資料
[1] Raj Jain, “Channel Models: A Tutorial,” sponsored in part by WiMAX Forum, V1.0, Feb. 21, 2007.
[2] mathworks.com, “Propagation Channel Models”, documentation of LTE Toolbox, MATLAB help center. Available: https://www.mathworks.com/help/lte/ug/propagation-channel-models.html