Delay-Doppler 的 time-invariant 特性

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  在 Delay-Doppler Communications: Principles and Applications 裡有這麼一句話：

… by aptly designing the frame duration, the delay-Doppler representation of a typical wireless channel can be made to be roughly time-invariant for the duration of the signal frame.


  這句話讓我感覺有些矛盾：delay-Doppler 就是用來描述時變通道，怎麼還可以說是 time-invariant？不解決這個問題，就無法繼續往前進，至少沒辦法說服自己。


  本文首先描述問題，接著嘗試回答。有關時變通道的 modeling 及數學描述，可以參考這篇文章，內容豐富但是並沒有回答到本文提出的問題。

問題

  書中描述的「在短時間內，通道的 DD domain 表示可以視為 time-invariant」，應該怎麼解讀？ 書中舉了高速公路車載通訊的例子，由於基地台和車輛的收發機有相對移動，通道響應必須加上 Doppler shift 的描述；經其他車輛反射、散射形成的多路徑 (multi-path) 也一樣，必須考量 Doppler。以圖A的情況為例，接收機看見的通道為三條路徑，分別有著不同的 delay $\tau$ 和 Doppler $\nu$。


圖A，高速公路上的簡單例子。

  時間為 $t_1$ 的當下，delay-Doppler 的分布如圖A左半部；然而，時間為 $t_2$ 的當下，由於我們(接收機)逐漸駛離車輛2，車輛2形成的路徑其 Doppler shift 變為負值。通道在不同時間點的 DD domain response 不同，此即 time variance。所以 time-invariance 的說法似乎有些矛盾，事實上任一時間點的 delay-Doppler response $U(\tau, \nu)$ 都會不一樣，從高速公路的簡單例子就可以理解。

討論

  為了回答這個問題，我們要先釐清 delay-Doppler response $U(\tau, \nu)$ 和 delay-time response $h(t, \tau)$ 之間的關係。常見的關係式為

$$
U(\tau, \nu) = \int{h(t, \tau) e^{-j2\pi\nu t}\ dt}
$$

  注意上面的式子並沒有標示積分範圍。暫且假設積分範圍是整個時間線 (aka $-\infty$ 到 $\infty$)，來看圖B的例子。給定 delay $\tau_0$，$h(t, \tau_0)$ 的振幅(實數)如圖B所示，是一個弦波，意即，delay 為 $\tau_0$ 的這個路徑其振幅以 $1/T_0$ 的頻率波動，隨時間 $t$ 變化。


圖B，$h(t, \tau_0)$ 的波動。

  接著看圖C的例子，給定 delay $\tau_0$，$h(t, \tau_0)$ 的振幅為一有限長度的波動，只在 $0 \leq t \leq 3T_0$ 期間有值。對變數 $t$ 作 Fourier transform 得到

$$
\begin{align}
U(\tau_0, \nu) &= F\lbrace h(t, \tau_0)\rbrace\\[10pt]
&= \int_{0}^{3T_0}{\cos{(2\pi t/T_0)} e^{-j2\pi\nu t}\ dt}\\[10pt]
&= -\frac{3T_0}{2} e^{-j3\pi T_0\nu} \left( {\text sinc}{3T_0(\nu - \frac{1}{T_0})} + {\text sinc}{3T_0(\nu + \frac{1}{T_0})}\right)
\end{align}
$$


圖C，$h(t, \tau_0)$ 為有限長度。

  我們一樣可以計算 $U(\tau, \nu)$，並且以 $U(\tau, \nu)$ 來描述通道在任何時間的特性。但是這些是特例：一般而言，通道響應不會是有限長度的，甚至(不使用 generalized functions 的概念)不存在 Fourier transform。在整個時間線上的通道響應，一般而言是隨機過程。


圖D，整個時間線 ($-\infty < t < \infty$) 上的通道響應。

  更關鍵的是：即使 $h(t, \tau)$ 確實是有限長度、有限能量的(其 Fourier transform 存在)，以整個時間線為積分範圍，會失去時變的資訊。這裡我們要區分兩個「時變」：

  1. $h(t, \tau)$ 是時變的：就像圖B、圖C甚至圖D描繪的一樣，並非 static channel gain。

  2. 環境是時變的：如圖A所示，任一時間點的 delay-Doppler 分布都不一樣，如果我們對一段長時間的通道響應 $h(t, \tau)$ 作 Fourier transform，得到的是對這段時間內的通道響應作「綜合描述」，好像整段時間的通道響應可以由轉換得到的 $U(\tau, \nu)$ 表示，其實不行──舉例來說，前半段時間快速變化、後半段時間幾乎不變，對整段時間的通道響應作 Fourier transform，只會得到一個「平均」的 delay-Doppler 描述。

  所以以整個時間線作為積分範圍是有問題的；實際上也做不到。因此，將整個時間線切為許多時間區間，對每個區間內的 $h(t, \tau)$ 作 Fourier transform 是比較合適的，也就是 Short Time Fourier Transform (STFT)。關於 STFT，之後會再寫一篇文章來討論(怎麼變成老高的語氣)。


圖E，STFT 的概念。

  不過，STFT 有個缺點：時間解析度和頻率解析度成反比，時間區間拉得愈長，時間解析度愈低、愈無法呈現瞬時資訊，不過因為點數增加了，DFT 的頻率解析度也會增加；反之亦然。


  STFT 的限制之外，選取的時間長度也要講究；如前所述，時間長度愈長，轉換得到的 $U(\tau, \nu)$ 愈無法呈現瞬時的通道特徵。如果時間區間選擇恰當，$U(\tau, \nu)$ 可以充分代表該區間內的通道，表示環境在這段區間內變化不大，可以視為 time-invariant。這就回答了本文的問題。

結論

  本文提出兩個「時變」的概念：第一個指通道增益隨時間變化，第二個指環境(如高速公路上的車流)隨時間變化。第二個時變的概念可以解釋，為什麼我們要選擇合適的訊框區間，如此計算得到的 $U(\tau, \nu)$ 才是有意義的。

參考資料

[1] Yi Hong, Tharaj Thaj, and Emanuele Viterbo, Delay-Doppler Communications: Principles and Applications, Academic Press, Elsevier.