論文閱讀：OTFS Modulation

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  OTFS 是一種新興的通訊技術，也是 NTN 應用的候選波型。這篇會議論文發表於 2017 年，到現在也有一段時間，因為這和我的研究主題密切相關，有必要閱讀。相較於之前讀的論文，這篇算是比較近期的，所以會比較概念性的轉述論文內容。


臺南運河，圖文不符。

  (按：功力不夠，還是只能筆記式的紀錄。不過我也有附上論文資訊，這篇文章大部分內容都是來自該論文。)

論文資訊

R. Hadani et al., “Orthogonal Time Frequency Space Modulation,” 2017 IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC), San Francisco, CA, USA, 2017, pp. 1-6.

論文內容

  5G 的車載通訊和高速(如高鐵)通訊，其通道變化快速，4G 常用的 OFDM 調變優勢不再。OTFS 將符號調變在一個 2D 的正交基底上，每一個符號經歷的通道增益近似於常數，有效對抗快速變化的通道特性。OTFS 還可以透過 massive-MIMO，線性增長系統的容量 (capacity)。


  過去的研究大多是在時頻域 (time-frequency domain) 進行調變。也有一些研究聚焦在波型的設計，如 pulse-shaped OFDM，但仍然是在時域的設計。這些都和 OTFS 在 delay-Doppler domain (DD) 的設計不一樣。

通道模型

  DD domain 的通道可以 $h(\tau, \nu)$ 表示，

$$
r(t) = \iint{s(t - \tau) h(\tau, \nu) e^{j2\pi\nu(t - \tau)}\ d\nu\ d\tau}
$$

  詳細討論可以參考這篇文章，上面的 $h(\tau, \nu)$ 就是那篇文章裡的 $V(\nu, \tau)$。這個 $h(\tau, \nu)$ 是稀疏 (sparse) 的，因此用來描述通道的參數數量相對較少。$s(t)$ 到 $r(t)$ 的轉換是一種 Heisenberg transform，不過這個太數學了，暫且不講。

OTFS 原理

  OTFS 調變的流程如下 (Tx)：

  • $\text{DD symbols}\ \ x[n, m]\ \longrightarrow\ \text{TF symbols}\ \ X[n, m]$ (OTFS transform)
  • $\text{TF symbols}\ \ X[n, m]\ \longrightarrow\ \text{time-domain}\ \ s(t)$ (Heisenberg transform)

  Rx 解調變的流程就倒過來 (Heisenberg transform 的 inverse 為 Wigner transform)。OFDM 可以看作是在第二步驟將訊息調變到 TF symbols，而 OTFS 則是在第一步驟就調變其訊息。

Tx 的訊號

  首先定義：

  1. $\Lambda$ 為 TF domain 的格點(時間間隔 $T$，頻率間隔 $\Delta f$)，

  2. 一個 packet burst 時間長度為 $NT$，頻寬為 $M\Delta f$。

  3. X[n, m] 為一個 packet burst 乘載的符號，共 $N\times M$ 個。

  4. 傳送波型 $g_{\text{tx}}(t)$ 及對應的接收波型 $g_{\text{rx}}(t)$ 為 bi-orthogonal，即

$$
\int{g^{*}_{\text{tx}}(t) g_{\text{rx}}(t - nT) e^{j2\pi m\Delta f(t - nT)}\ dt} = \delta(n) \delta(m)
$$


  $g_{\text{tx}}(t)$ 的一個例子是寬度為 $T$ 的方波，並且 $T$ 為 $1/\Delta f$ 的整數倍。有了上述這些定義，就可以寫出 Heisenberg transform 的數學形式：

$$
s(t) = \sum_{m}{\sum_{n}{X[n, m] g_{\text{tx}}(t - nT) e^{j2\pi m\Delta f(t - nT)}}}\tag{1}
$$

  如果我們把 $n$ 去掉，式 (1) 就簡化為 OFDM。仔細觀察式 (1)，會發現式 (1) 可以改寫為

$$
s(t) = \iint{h_2(\tau, \nu) g_{\text{tx}}(t - \tau) e^{j2\pi\nu(t - \tau)}\ d\nu d\tau}
$$

  這個形式稱為 operator，$s(t) = \Pi_{h_2}(g_{\text{tx}}(t))$，其中

$$
h_2(\tau, \nu) = \sum_{m}{\sum_{n}{X[n, m] \delta(\tau - nT) \delta(\nu - m\Delta f)}}
$$

  經過通道 $h(\tau, \nu)$，接收到的訊號可以表示為 $r(t) = \Pi_{f}(g_{\text{tx}}(t))$，$f = h(\tau, \nu) \ast_{\sigma} h_2(\tau, \nu)$ (twisted convolution)，和一般的 convolution 有些相似，不過沒有交換律，

$$
h(\tau, \nu) \ast_{\sigma} h_2(\tau, \nu) = \iint{h(\tau’, \nu’) h_2(\tau - \tau’, \nu - \nu’) e^{j2\pi\nu’(\tau - \tau’)}\ d\tau’d\nu’}
$$

  (請自行推導一遍 $f(\tau, \nu)$)。這裡我們不考慮雜訊 (AWGN)，因為重點是在訊號模型的呈現。

Rx 的訊號

  接收端收到 $r(t)$ 後，通過匹配濾波器後再取樣，得到 $Y[n, m]$。這裡的匹配濾波器輸出稱為 cross-ambiguity function，

$$
\begin{align}
A_{g_{\text{rx}}, r}(\tau, \nu)\ &\overset{\Delta}{=}\ \int{g_r^{*}(t - \tau) r(t) e^{-j2\pi\nu(t - \tau)}\ dt}\\[10pt]
&= f(\tau, \nu) \ast_{\sigma} A_{g_{\text{rx}}, g_{\text{tx}}}(\tau, \nu)
\end{align}
$$

  理想通道 $h(\tau, \nu) = \delta(\tau) \delta(\nu)$ 的情況下，$Y[n, m] = X[n, m]$ (不考慮雜訊)。非理想通道、滿足 $h(\tau, \nu)$ 有 bounded finite support、$A_{g_{\text{rx}}, g_{\text{tx}}}$ 在 $(nT, m\Delta f)$ 附近為零的話 (aka 兩波型為正交)，則

$$
Y[n, m] = H[n, m] X[n, m]
$$

  這個結果和 OFDM 非常相似，只不過 $H[n, m]$ 由 $h(\tau, \nu)$ 在 DD domain 的積分組成，仍需要複雜的等化器設計。因此接下來介紹 OTFS 調變的關鍵方法，可以將通道轉變為更簡單的形式。


OTFS 調變流程。

調變方法

  我們要先介紹 Symplectic Finite Fourier Transform (SFFT)，它可以視為是 2D 的 DFT，

$$
\begin{align}
&x_p[k, r] = \sum_{n = 0}^{N - 1}{\sum_{m = -M/2}^{M/2 - 1}{X_p[n, m] e^{-j2\pi(\frac{nk}{N} - \frac{mr}{M})}}}\\[10pt]
&X_p[n, m] = \frac{1}{MN} \sum_{r = 0}^{M - 1}{\sum_{k = 0}^{N - 1}{x_p[k, r] e^{j2\pi(\frac{nk}{N} - \frac{mr}{M})}}}
\end{align}
$$

  下標 $p$ 表示 periodic，概念和 DFT 一樣，如果我們只關注 $[0, N - 1] \times [0, M - 1]$ 的範圍，那麼 SFFT 和 ISFFT 可以完整表示 $X[n, m]$。2D convolution 對應到轉換後的點乘，這點也和 DFT 一樣。


  將訊息符號(如 QAM)作 ISFFT 後，乘上一個 window，成為 TF domain 的符號。

$$
X[n, m] = W_{\text{tx}}[n, m]\ \text{ISFFT}\lbrace x[k, r]\rbrace
$$

  這個操作稱作 OTFS transform。TF domain 的符號透過 Heisenberg transform 變成時域訊號，經過通道來到 Rx 解調，再透過 Wigner transform 變回 TF domain 符號；最後一步就是 SFFT，

$$
y[k, r] = \text{SFFT}\lbrace W_{\text{rx}}[n, m] Y[n, m]\rbrace
$$

  那麼我們最關心的通道呢？根據作者的推導，最後得到的 $y[k, r]$ 會是傳輸的訊息符號 $x[k, r]$ 和 windowed response $h_w$ 的卷積，

$$
\begin{align}
y[k, r] &= \frac{1}{MN} \sum_{m = 0}^{M - 1}{\sum_{n = 0}^{N - 1}{x[n, m] h_w(\frac{k - n}{NT}, \frac{r - m}{M\Delta f})}}\\[10pt]
&\approx x[k, r] h_w(0, 0)
\end{align}
$$

  假如沒有 ISI 的話。在這個情況下，整個 $N\times M$ 的格點都可以使用，因為通道被簡化為一個常數，這就是論文一再強調的，「extract the full channel diversity」，使用到所有頻率和時間區間。如果 $(n, m)$ 對應 time-frequency 格點的 index，那麼 $(r, k)$ 就是對應 delay-Doppler 格點的 index，故 OTFS 的訊息是調變在 DD domain 的符號。

模擬結果

  未完成。

結論

  在多種星座圖大小和 Doppler 頻率的情況下，OTFS 的 block error rate 都較 OFDM 來得低，特別是高 Doppler 的環境下，OTFS 更勝一籌。

讀後想法

  這篇會議論文只有六頁，卻能把概念說明清楚，沒有冗餘贅字，寫作風格和 Alamouti code 那篇相似，節奏明快、只講重點。這種風格應該適用於會議報告、演講，之前聽的幾場專題演講的風格也是這樣，比較能吸引受眾的注意力。


  至於論文的主題，OTFS，沒有意外的話就是我的研究主題了。學習 OTFS、瀏覽相關文獻的過程也會認識到以往針對 OFDM 設計的演算法，算是一兼兩顧，摸蛤仔兼洗褲。不過，還是希望之後有時間可以看一些不同領域的論文。

參考資料

  無。