論文閱讀：Channel Estimation with Pilot Arrangement

發表於 2026-02-19 更新於 2026-03-12 分類於通訊技術 Disqus：

這篇2002年的論文探討兩種用來估測通道的 OFDM pilot 設計，雖然是二十幾年前的想法，還是可以提供一些 insights。這篇論文用到 LS 和 MMSE 等估測的概念，所以這篇文章會補充一些推導的過程。

論文資訊

S. Coleri, M. Ergen, A. Puri and A. Bahai, “Channel estimation techniques based on pilot arrangement in OFDM systems,” in IEEE Transactions on Broadcasting, vol. 48, no. 3, pp. 223-229, Sept. 2002.

論文內容

論文假設通道形如

$$
h[n; \lambda] = \sum_{i = 0}^{r - 1}{h_i\ e^{j\frac{2\pi}{N} f_{D_i}T n}\ \delta[\lambda - \tau_i]},\ \ 0 \leq n \leq N - 1
$$

其中 $r$ 為路徑數，$h_i$ 為 complex gain，$f_{D_i}$ 為第 $i$ 條路徑的 Doppler shift，$\lambda$ 為 delay index，$\tau_i$ 為第 $i$ 條路徑的 delay，$T$ 為取樣週期。假設沒有 ISI，則接收到的訊號去除 CP 經 DFT 轉換得到

$$
Y[k] = X[k] H[k] + I[k] + W[k],\ \ k = 0, 1, \cdots, N - 1
$$

其中

$$
H[k] = \sum_{i = 0}^{r - 1}{h_i\ e^{j\pi f_{D_i} T}\ \text{sinc}(f_{D_i} T)\ e^{-j\frac{2\pi \tau_i}{N} k}}
$$

而 $I(k)$ 為 ICI 的項(在這篇論文裡沒有談論如何消除這項 ICI)，

$$
I[k] = \sum_{i = 0}^{r - 1}{\sum_{m = 0, m \neq k}^{N - 1}{\frac{h_i X[m]}{N}\ \frac{1 - e^{j2\pi (f_{D_i} T - k + m)}}{1 - e^{j\frac{2\pi}{N} (f_{D_i} T - k + m)}}\ e^{-j\frac{2\pi \tau_i}{N} m}}}
$$

$W[k]$ 則是 AWGN 的頻域表示 (DFT)。重申一次這是假設無 ISI 的情況。

此外，和論文不同，這篇文章裡 DFT 的定義為

$$
X[k] = \sum_{n = 0}^{N - 1}{x[n] W_N^{kn}},\ \ 0 \leq k \leq N - 1
$$

Block-type arrangement

圖A，block-type pilot arrangement，改自論文的 Fig. 2。

根據論文，接收到的訊號以矩陣表示為

$$
Y = X F h + W
$$

其中 $X$ 是對角線元素為 $X[k]$ 的對角矩陣，$F$ 為 DFT 矩陣，$h$ 為時域的通道脈衝響應。但是我覺得這個式子有點問題，因為若 $h$ 是 column vector，則不能表示 Doppler shift 的特徵，只能表示 static channel response。

我認為正確的表示為

$$
Y = B X + W
$$

其中 $X = [X[0], X[1], \cdots, X[N - 1]]^T$ (column vector)，並且

$$
[B]_{k, m} =
\begin{cases}
\begin{align}
I_{k, m} &= \sum_{i = 0}^{r - 1}{\frac{h_i}{N} \frac{1 - e^{j2\pi(f_{D_i}T + m - k)}}{1 - e^{j\frac{2\pi}{N}(f_{D_i}T + m - k)}} e^{-j\frac{2\pi}{N} m \tau_i}}&,\ \ m \neq k\\[10pt]
H_k &= H[k]&,\ \ m = k
\end{align}
\end{cases}
$$

也就是說，$N \times N$ 矩陣 $B$ 形如

$$
B =
\begin{bmatrix}
H_0 & I_{0, 1} & I_{0, 2} & \cdots & I_{0, N - 1}\\[10pt]
I_{1, 0} & H_1 & I_{1, 2} & \cdots & I_{1, N - 1}\\[10pt]
I_{2, 0} & I_{2, 1} & H_2 & \cdots & I_{2, N - 1}\\[10pt]
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[10pt]
I_{N - 1, 0} & I_{N - 1, 1} & I_{N - 1, 2} & \cdots & H_{N - 1}
\end{bmatrix}
$$

其實只是把上一節的式子寫成矩陣形式。一般來說，$B$ 並不是 Hermitian matrix。只不過這樣改寫後，似乎沒辦法用 LS 方法估計；論文的寫法，$Y = X F h + W$，應該是從估計的角度看待訊號模型，也就是說 ICI 的項被歸類為誤差或雜訊。

根據論文，LS 估計量為

$$
H_{LS} = X^{-1} Y
$$

(這裡的 $X$ 是一開始定義的對角矩陣。)在 slow fading 的情況下，可以在一個 block 裡使用 decision feedback equalizer：前一個 symbol 估計的 $H[k]$ 拿來還原、偵測符號後，用判斷出的符號來更新 $H[k]$。可想而知，fast fading 的情況下 comb-type pilot 的表現會比較好。

Comb-type arrangement

圖B，comb-type pilot arrangement，改自論文的 Fig. 2。

在 $N_c$ 個子載波裡均勻挑 $N_p$ 個作為 pilot，$X_p[m] = X[mL]$，$L = N_c / N_p$，剩餘的則承載資料。其 LS 估計為 $H_p[m] = Y_p[m] / X_p[m],\ \ m = 0, 1, \cdots, N_p - 1$。若考量 ICI 的影響，可以考慮使用複雜度較高的 MMSE，或是簡化的 linear MMSE。

由於 comb-type pilot arrangement 只有估計特定幾個 sub-channel，完整的 $H_e[k]$ 需要透過內插 (interpolation) 得到。方法有：

Linear interpolation
Second-order interpolation
Zero-padding (time domain)
Spline cubic interpolation (MATLAB spline)
low-pass interpolation (MATLAB interp)

Second order 的做法如下(可以從拉格朗日插值多項式推得)：

$$
\begin{align}
H_e[k] &= H_e[mL + l]\\[10pt]
&= c_1 H_p[m - 1] + c_0 H_p[m] + c_{-1} H_p[m + 1]
\end{align}
$$

其中

$$
\begin{align}
c_1 &= \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}\\[10pt]
c_0 &= -(\alpha - 1)(\alpha + 1),\ \ \alpha = \frac{l}{L}\text{ (論文這邊寫錯)}\\[10pt]
c_{-1} &= \frac{\alpha(\alpha + 1)}{2}
\end{align}
$$

$L = N_c / N_p$。圖C簡單呈現這幾種方法的效果。

圖C，不同內插方法的效果。

模擬結果

參照論文 Table I (見下表A)的參數，模擬結果如圖D和圖E所示。調變方式為 BPSK (圖D)和 16QAM (圖E)，block 長度為 26 OFDM symbols (論文是採用 30 OFDM symbols)，通道估計方法為 LS 估計；通道採用 Rayleigh fading，Doppler 頻率為 70 Hz (這裡是指 Jake’s model 得到的 time-varying channel gain，而不是前述的通道描述)，通道的 static impulse response 如下所示：

$$
\begin{align}
h[n] &= \alpha[n] + 0.3162\alpha[n - 2] + 0.1995\alpha[n - 17]\\[10pt]
&+ 0.1296\alpha[n - 36] + 0.1\alpha[n - 75] + 0.1\alpha[n - 137]
\end{align}
$$

圖D，block-type 以及 comb-type 的錯誤率表現，BPSK。

圖E，block-type 以及 comb-type 的錯誤率表現，16QAM。

從表A提供的參數，可以推算 coherence time $T_c \approx 1 / f_m = 1 / 70 = 14.3 \text{ms}$，而 OFDM symbol duration $T_{sym} = 1024 / 44100 \approx 23.2 \text{ms}$，可以視為 fast fading 的環境；time dispersion 的部分，由於 CP 的長度大於最大延遲 ($\tau_{max} = 137$ samples)，ISI 的影響不大。

參數	參數值
FFT Size	1024
實際使用子載波數	128
Pilot Ratio	1 / 8
CP 長度	256
取樣率	44.1 kHz
系統頻寬	17.5 kHz (包含 guard band)
調變方式	BPSK，16QAM

表A，MATLAB 模擬的 OFDM 系統參數，改自論文 TABLE. I。

由圖D和圖E可知，comb-type arrangement 的效果比 block-type arrangement 好，而 comb-type arrangement 當中，又以 low-pass interpolation 的效果最好。論文還比較不同 Doppler shift 下的錯誤率表現，也是類似的結果。

結論

這篇論文回顧兩種使用 pilot 訊號的通道估計方法。模擬結果顯示，comb-type pilot 加上 low-pass interpolation 的效果最好(特別是 fast fading 的通道)。此外，low Doppler frequency 的情況下可以使用 decision feedback。

讀後想法

在繪製不同內插方法的效果時，一開始是用複數點作為示範，但是複數可以視為二維的資料，要呈現複數點內插效果的話，其實應該要在三維空間繪製曲線，才能確實呈現。後來改用實數點作為示範，就比較直覺，因為是一維的資料。

這篇論文比較像是一篇文獻回顧，整理一些已經提出的做法，以模擬結果做比較。方法比較簡單，不過從中可以知道，通道的特性對通訊系統設計來說至關重要。

附錄

[1] 這篇1997年的會議論文提出前面描述的通道的頻域表示，但是沒有提供推導過程。我就在這裡推導一下。首先，接收到的訊號(不考慮 AWGN 的話)在一個 OFDM symbol useful part 期間為

$$
y[n] = \sum_{i = 0}^{r - 1}{h_i\ e^{j\frac{2\pi}{N} f_{D_i}T n}\ x[\left(n - \tau_i\right)_N]},\ \ 0 \leq n \leq N - 1
$$

(注意在這個系統有使用 CP。)其中

$$
x[\left(n - \tau_i\right)_N] = \frac{1}{N} \sum_{l = 0}^{N - 1}{X[l] e^{j\frac{2\pi}{N} (n - \tau_i) l}}
$$

所以接收到訊號 $y[n]$ 的頻域表示，$Y[k]$，可以寫為

$$
\begin{align}
Y[k] &= \sum_{n = 0}^{N - 1}{\sum_{i = 0}^{r - 1}{h_i\ e^{j\frac{2\pi}{N} f_{D_i}T n}\ x[\left(n - \tau_i\right)_N]\ e^{-j\frac{2\pi}{N}k n}}}\\[10pt]
&= \sum_{n = 0}^{N - 1}{\sum_{i = 0}^{r - 1}{\sum_{l = 0}^{N - 1}{\frac{h_i}{N}\ e^{j\frac{2\pi}{N} f_{D_i}T n}\ X[l] e^{j\frac{2\pi}{N} (n - \tau_i) l}\ e^{-j\frac{2\pi}{N}k n}}}}\\[10pt]
&= \sum_{i = 0}^{r - 1}{\sum_{l = 0}^{N - 1}{\frac{h_i}{N} X[l] e^{-j\frac{2\pi}{N} \tau_i l} \sum_{n = 0}^{N - 1}{e^{j\frac{2\pi}{N} (f_{D_i}T + l - k) n}}}}\\[10pt]
&= \sum_{i = 0}^{r - 1}{\sum_{l = 0}^{N - 1}{\frac{h_i}{N} X[l] e^{-j\frac{2\pi}{N} \tau_i l} \frac{1 - e^{j2\pi(f_{D_i}T + l - k)}}{1 - e^{j\frac{2\pi}{N}(f_{D_i}T + l - k)}}}}
\end{align}
$$

ICI 的項，$I(k)$，大概是如此形式。至於 $H(k)$ 的形式，應該是因為 $f_{D_i}T$ 的值很小 ($f_{D_i}$ 和 Tx-Rx 相對移動的速率有關，而 $T$ 通常很小)，所以有以下的近似：

$$
\begin{align}
\frac{1 - e^{j2\pi f_{D_i}T}}{1 - e^{j\frac{2\pi}{N}f_{D_i}T}} &\approx \frac{1 - e^{j2\pi f_{D_i}T}}{1 - (1 + j\frac{2\pi}{N}f_{D_i}T)}\\[10pt]
&= \frac{1 - e^{j2\pi f_{D_i}T}}{-j\frac{2\pi}{N}f_{D_i}T}\\[10pt]
&= e^{j\pi f_{D_i}T} \frac{\sin(\pi f_{D_i}T)}{\pi f_{D_i}T / N}
\end{align}
$$

這樣就和論文的式子一致了。

參考資料

[1] Yuping Zhao and Aiping Huang, “A novel channel estimation method for OFDM mobile communication systems based on pilot signals and transform-domain processing,” 1997 IEEE 47th Vehicular Technology Conference. Technology in Motion, Phoenix, AZ, USA, 1997, pp. 2089-2093 vol.3.