論文閱讀：Alamouti code
這篇是 Alamouti code 的原始論文，於1998年出版。Alamouti code 是一種 space-time block code (STBC)，在 MIMO-OFDM 等多天線系統廣泛應用。
論文資訊
Siavash M. Alamouti, “A Simple Transmit Diversity Technique for Wireless Communications”, IEEE Journal On Select Areas in Communications, Vol. 16, No. 8, Oct. 1998.
論文內容
在本篇論文，作者提出一種新的 diversity 方法，並且將它與傳統的 MRRC 比較。因此論文首先介紹 MRRC，再闡明提出的新方法，並比較兩種方法的錯誤率表現。
背景介紹
下世代通訊要求在多變的環境也能順利通訊，提高資料傳輸速率與通訊品質的同時，成本也必須維持住。因此，基地台的複雜度應該比行動裝置的複雜度更高。
面對多路徑衰減，不考慮增加傳輸功率或是頻寬的話，diversity 是一個選項。Time diversity 在 slow fading 的情況效果不佳，frequency diversity 在 flat fading 的情況效果不好；antenna diversity 適用的範圍較廣，但是要應用在基地台而不是行動裝置，才符合經濟效益。其中一個例子是 space-time trellis coding，但是它的複雜度較高。
這篇論文提出的方法在 Tx 有兩支天線，Rx 有一支天線，其 diversity order 與經典的 MRRC (Tx 一支天線，Rx 兩支天線)相同，複雜度低。這個方法可以有效對抗多路徑衰減，增加通訊系統的效能。
MRRC scheme
Maximal-Ratio Receive Combining (MRRC) 的基頻架構圖如圖A所示。
MRRC 的作法為 ${\bf \tilde{s_0}} = {\bf h_0^* r_0} + {\bf h_1^* r_1} = (\alpha_0^2 + \alpha_1^2){\bf s_0} + {\bf h_0^* n_0} + {\bf h_1^* n_1}$，和之前論文看到的不太一樣，所以在附錄推導一次。Combining 的結果送去 ML detector，decision rule 為
$$
(\alpha_0^2 + \alpha_1^2 - 1)\lvert {\bf s_i}\rvert^2 + \lvert {\bf \tilde{s_0} - s_i}\rvert^2 \leq (\alpha_0^2 + \alpha_1^2 - 1)\lvert {\bf s_k}\rvert^2 + \lvert {\bf \tilde{s_0} - s_k}\rvert^2
$$
則判斷為 $\bf s_i$。訊號為 PSK 的話，上式可以簡化為
$$
\lvert{\bf \tilde{s_0} - s_i}\rvert^2 \leq \lvert{\bf \tilde{s_0} - s_k}\rvert^2
$$
Alamouti 的新方法
Case 1, 2 Tx 1 Rx
作者提出的新方法，架構圖如圖B所示。這個架構可以分為三個部分：
- Encoding & transmit sequence
- Combing scheme
- ML detection，這部分和 MRRC 是一樣的
從圖B可知，transmit sequence 是一種 space-time coding，因為符號被安排在不同天線(空間)與不同區間(時間)。實際上也可以用 space-frequency coding。假設 Tx 0 傳送到 Rx 的 channel gain 為 ${\bf h_0} = \alpha_0 e^{j\theta_0}$，Tx 1 傳送到 Rx 的 channel gain 為 ${\bf h_1} = \alpha_1 e^{j\theta_1}$ (假設連續兩 symbol 期間通道不變)，則 Rx 收到的連續兩個 symbol 為
$$
\begin{align}
{\bf r_0} &= {\bf h_0 s_0} + {\bf h_1 s_1} + {\bf n_0}\\[10pt]
{\bf r_1} &= -{\bf h_0 s_1^{*}} + {\bf h_1 s_0^{*}} + {\bf n_1}
\end{align}
$$
Combiner 的輸出為
$$
\begin{align}
{\bf \tilde{s_0}} &= {\bf h_0^{*} r_0} + {\bf h_1 r_1^{*}} = (\alpha_0^2 + \alpha_1^2){\bf s_0} + {\bf h_0^{*} n_0} + {\bf h_1 n_1^{*}}\\[10pt]
{\bf \tilde{s_1}} &= {\bf h_1^{*} r_0} - {\bf h_0 r_1^{*}} = (\alpha_0^2 + \alpha_1^2){\bf s_1} - {\bf h_0 n_1^{*}} + {\bf h_1^{*} n_0}
\end{align}
$$
注意 combiner 的輸出和 MRRC combiner 輸出是一樣的，除了雜訊成分的相位，因此理論上效能也會和 MRRC 一樣(推導見附錄)。
Case 2, 2 Tx M Rx
論文裡給出 M = 2 的例子。令 Tx 0 到 Rx 0 的 channel gain 為 $\bf h_0$，Tx 0 到 Rx 1 為 $\bf h_2$，Tx 1 到 Rx 0 為 $\bf h_1$，Tx 1 到 Rx 1 為 $\bf h_3$。Rx 0 和 Rx 1 第一組收到的 symbol 為 $({\bf r_0, r_2})$，第二組收到 $({\bf r_1, r_3})$。收到的 symbol 可以表示為
$$
\begin{align}
{\bf r_0} &= {\bf h_0 s_0} + {\bf h_1 s_1} + {\bf n_0}\\[10pt]
{\bf r_1} &= -{\bf h_0 s_1^{*}} + {\bf h_1 s_0^{*}} + {\bf n_1}\\[10pt]
{\bf r_2} &= {\bf h_2 s_0} + {\bf h_3 s_1} + {\bf n_2}\\[10pt]
{\bf r_3} &= -{\bf h_2 s_1^{*}} + {\bf h_3 s_0^{*}} + {\bf n_3}
\end{align}
$$
而 combiner 的輸出為 (ML detector 的輸入)
$$
\begin{align}
{\bf \tilde{s_0}} &= {\color{yellow} {\bf h_0^{*} r_0} + {\bf h_1 r_1^{*}} } + {\color{magenta} {\bf h_2^{*} r_2} + {\bf h_3 r_3^{*}} }\\[10pt]
{\bf \tilde{s_1}} &= {\color{yellow} {\bf h_1^{*} r_0} - {\bf h_0 r_1^{*}} } + {\color{magenta} {\bf h_3^{*} r_2} - {\bf h_2 r_3^{*}} }
\end{align}
$$
經過整理可以得知它的 diversity order 和 4-branch MRRC scheme 是一樣的。仔細觀察，可以發現 combiner 的輸出其實是兩支天線各自 combiner 輸出的和(式子裡以顏色區分)。
錯誤率模擬
錯誤率如下圖C，調變方式為 coherent BPSK，通道為 uncorrelared Rayleigh fading，並且假設通道對於接收端為已知 (perfect knowledge)。由於發射端多了一個天線，但是總發射功率不變，因此每一支發射天線的功率減半。從圖C也看得出來，Alamouti code 和 MRRC 有著 3 dB 的差距，就是由於天線平均功率的減少。(不過實際上每個符號的傳送能量應該不變？)
實作上的考量
前面提過單支天線傳輸功率減半，這其實有好處：可以用更輕巧便宜的功率放大器。關於天線的設置，主要的要求就是天線之間互不相關 (correlation 小於0.7)，跟天線之間的距離相關，發射與接收天線的設置基本上會是一樣的。
訊號處理的部分，這篇論文假設通道對於接收端是已知的，可能是透過 pilot symbol 來估計。通道變化太快的話 (e.g. fast fading)，估計就會失準，所以 pilot symbol 的出現頻率至少要等於對通道的取樣率。此外，因為主要是發射端的天線數量增加，為了估計不同通道，pilot symbols 的數量也會增加。(相較之下，若是接收端天線數量增加、發射端維持一支天線，只需要一個 pilot symbol 就可以估計全部通道。)
最後討論 soft failure。當接收端有好幾個天線，其中一個不能 work，接收端仍可以 decode 傳送的符號，只是效能降低，這就是 soft failure 的意思。那麼 Alamouti code 其實也是有這項特性的，以 two-branch 為例子，當一個發射端天線不能 work，系統就退化為 single-channel，還是可以運作。
結論
這篇論文提出的方法不僅可以提供和 MRRC 一樣的 diversity order，且讓基地台而不是行動裝置來負擔硬體的複雜度(i.e. 天線數)。這個方法不需要 Rx 回傳 CSI 給 Tx，且運算複雜度和 MRRC 相仿。
讀後想法
這篇論文相當簡潔有力，論述清楚，而且實用價值相當高，因為行動裝置(如手機)的硬體複雜度降低，有助於當時行動通訊和數據傳輸的發展。論文提出的方法，其數學描述也很簡單，應用於 massive MIMO 的話應該可以用矩陣描述，所以還是要好好複習線性代數。
附錄
MRRC 的係數 $a_1$，$a_2$ 推導如下。
Two-branch Alamouti code 的 ML detection 判斷如下。
參考資料
無。