論文閱讀：Linear Diversity Combining Techniques
這是一篇1959年的論文，作者任職於 MIT 的林肯實驗室，該單位與美國國防部合作進行許多研究計畫。原來六十多年前 diversity 的想法就已經有人探討了；不過話說回來，OFDM 也是幾十年前就提出的概念，這些技術得以實現，硬體的演進扮演關鍵角色。
這篇論文說明三種當時已提出的 diversity 技法，可以用於雷達和導航系統，對軍方來說具有實用性。
論文資訊
D. G. Brennan, “Linear Diversity Combining Techniques”, PROCEEDINGS OF THE IRE, 1959, June.
論文內容
Diversity 技巧是用來對付 fading 的。以下便來介紹三種現有(1959)的 diversity 技法，並且以 SNR 作為評估標準。
基礎假設
這篇論文使用 local rms statistic，定義如下：
$$
x(t) = [\frac{1}{T}\int_{t - T}^{t}{[e(\tau)]^2 d\tau}]^{1/2} = \sqrt{\langle e^2\rangle}
$$
(這不是常見的 ensemble average。) $T$ 在幾微秒到幾毫秒之間，”local” 指的就是在這樣短的時間區間內。Diversity combining techniques 可以分為兩類：predetection 或 postdetection。假設有 $N$ 個 diversity channels，$f_j(t)$ 為接收到的訊號(包含雜訊與干擾)，我們假設以下條件：
(A) 雜訊為 additive 且獨立於傳輸訊號，$f_j(t) = s_j(t) + n_j(t)$。
(B) $s_j(t)$ 為 locally coherent，即 $s_j(t) = x_j m(t)$，其中 $x_j$ 為實數，$\overline{s_j^2} = x_j^2 \overline{m^2} = x_j^2$。
(C) $\overline{n_i n_j} = \overline{n_i}\ \overline{n_j}\ \ \text{if}\ i \neq j$ (locally)，$\overline{n_i} = 0$。
(D) $x_j$ 在觀察區間 $T_1$ 內，不同 channel 之間為互相獨立，$T_1$ 在幾分鐘到幾小時之間。
這裡假設 $x_j$ 為 Rayleigh 分布(就 $T_1$ 尺度的觀察而言)。基本上，經過 combination 的訊號形如
$$
f(t) = a_1 f_1(t) + \cdots + a_N f_N(t) = \sum_{j = 1}^{N}{a_j f_j(t)}
$$
Selection Diversity
假設 local noise power 為常數，$\overline{n_j^2} = 1$，$E[x_j^2] = 1$，則 power ratio $P_j = x_j^2 / \overline{n_j^2}$ 的 pdf 為 $g(p_j) = e^{-p_j}$。Selection combining 的作法是找到 local power ratio 最大的 channel，$P = \text{max } P_j$，$k = \text{arg }\max_j\ P_j$，並切換到該 channel，即
$$ a_j = \begin{cases} \begin{align} \end{align} 1,\ \ &\text{for } j = k\\\\[10pt] 0,\ \ &\text{for } j \neq k \end{cases} $$因此，$P$ 的 cdf 為 $\text{Prob}[P \leq p] = (1 - e^{-p})^N$，mean 為 $E[P] = \sum_{k = 1}^{N}{\frac{1}{k}}$。
Maximal-Ratio Diversity
由柯西不等式可得
$$
\begin{align}
(\sum_{j = 1}^{N}{a_j x_j})^2 &\leq (\sum_{j = 1}^{N}{a_j^2 \overline{n_j^2}})\ (\sum_{j = 1}^{N}{\frac{x_j^2}{\overline{n_j^2}}})\\[10pt]
&= (\sum_{j = 1}^{N}{a_j^2 \overline{n_j^2}})\ (\sum_{j = 1}^{N}{P_j})
\end{align}
$$
把訊號和雜訊的部分分別整理為
$$
s(t) = \sum_{j = 1}^{N}{a_j s_j(t)},\ \ n(t) = \sum_{j = 1}^{N}{a_j n_j(t)}
$$
得到 $f(t) = s(t) + n(t)$，$f(t)$ 的 local power ratio 為 $P = \frac{\overline{s^2}}{\overline{n^2}}$。經過一番推導，可以得到 $P \leq \sum_{j = 1}^{N}{P_j}$，也就是說 power ratio 的最大值為 $\sum_{j = 1}^{N}{P_j}$，發生於 $a_j = x_j / \overline{n_j^2}$ (from 柯西不等式)。
假如 $E[P_j] = 1$，則 $E[P] = N$，和 selection combining 比較，maximal-ratio combining 更能善用 diversity 的優勢。$P$ 的分布為 Gamma distribution。
Equal-Gain Diversity
有關 AGC 的簡介，請見附錄。
Equal-gain combining 的作法就是 $a_j = 1$。根據條件 (B)，$\overline{s^2} = (\sum_{j = 1}^{N}{x_j})^2$，$\overline{n^2} = \sum_{j = 1}^{N}{\overline{n_j^2}} = \sum_{j = 1}^{N}{1} = N$，local power ratio 為
$$
P = \frac{(\sum_{j = 1}^{N}{x_j})^2}{N}
$$
至於 mean local power ratio，注意
$$
P = \frac{1}{N} (\sum_{j = 1}^{N}{x_j^2} + \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{x_i x_j}})
$$
故
$$
\begin{align}
E[P] &= \frac{1}{N} (\sum_{j = 1}^{N}{E[x_j^2]} + \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{E[x_i] E[x_j]}})\\[10pt]
&= 1 + \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N}{\sum_{i \neq j}{r^2}}\\[10pt]
&= 1 + (N - 1) r^2
\end{align}
$$
因為 $x_j$ 互相獨立，且 $E[x_j^2] = 1$，$E[x_j] = r$。Equal-gain combining 和 max-ratio combining 都是 N 的線性函數，但斜率不同。
效能比較
首先比較 mean local power ratio，以 single channel (沒有使用 diversity)的 mean power ratio為基準(圖C)。
接著比較 $N = 2$ 的情況下，local power 的分布，見圖D。圖D的橫軸為「power level 大於對應 level 值的機率」，縱軸為「相對於 single-channel power median 的 power level」(dB 尺度)，其實就是呈現 local power 的機率分布，把累積分布圖的橫軸和縱軸對調、尺度調整就可以得到。(這裡我混用 SNR 和 power，因為兩者的值一樣。)
論文也給出 $N = 3, 4, 6, 8$ 的比較，隨著 $N$ 愈大，selection combining 的表現落後 max-ratio 和 equal-gain 愈多。
其他情況的討論
論文後半部討論不同條件下的 combining techniques，並提出對應的修正。這些條件如下：
- 當 $x_j$ 並非 Rayleigh 分布
- 當不同 channel gain 並非不相關(因此也不是互相獨立)
- 當 $\overline{n_j^2}$ 不再固定為常數
- 當 $\overline{n_i n_j} = 0$ 的假設不再成立
- pre-detection 和 post-detection 的討論
- 長期觀察下的系統變異 (variability)
- 當 $s_j(t)$ 為 locally coherent 的假設不再成立
- 一些其他討論
這裡只呈現 correlated fading，以及 pre-detection 和 post-detection 的討論。其他部分請參考論文。
首先是 correlated fading。
接著來討論 pre-detection 和 post-detection 的差異。
結論
並沒有所謂「最佳的 diversity 系統」，應該要根據不同的條件來選用不同的 combining 技巧。不過考慮到複雜度和效能，equal-gain combining 應該會成為主流。(按：1959年的結論。)
讀後想法
這篇論文的年代久遠，是類比通訊的時代，所以幾乎沒有對數位通訊的討論。不過基本的概念還是可以套用在數位通訊，比如說把 local rms value 改為 discrete statistic、SNR 轉換為 BER，應該可以從數位通訊的角度來檢視 diversity combining techniques。
附錄
AGC (Automatic Gain Control) 是一種 closed-loop feedback 電路，常見於收音機的接收機電路(例如接收 AM 訊號)。AGC 在訊號強度小時增加增益、訊號強度大時減少增益，確保接收機輸出到喇叭的音量動態範圍是合適的。
圖片來源：allaboutcircuits.com，[2]。
參考資料
[1] wikipedia, “自動增益控制”. Available: https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E8%87%AA%E5%8A%A8%E5%A2%9E%E7%9B%8A%E6%8E%A7%E5%88%B6
[2] Robert Keim, “Understanding Automatic Gain Control”, allaboutcircuits.com. Accessed in Feb. 2016. Available: https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/understanding-automatic-gain-control/