論文閱讀：Randomly Linear Time-Variant Channel
這篇 1963 年的經典論文在通道模型的領域有近兩千次引用，直到最近 (2026) 的期刊論文也都有引用，足見其影響之深遠。
這篇文章旨在把 Bello 的概念說明清楚。時間允許的話，我也會進行模擬 (MATLAB) 來輔助說明這些概念。
論文資訊
P. Bello, “Characterization of Randomly Time-Variant Linear Channels,” in IEEE Transactions on Communications Systems, vol. 11, no. 4, pp. 360-393, December 1963.
論文內容
從標題可得知，這篇論文主要聚焦在隨機線性時變通道的各種面向：time-frequency duality、correlation functions 等，並討論三種通道模型：
- Wide-sense stationary (WSS)
- Uncorrelated scattering (US)
- Wide-sense stationary uncorrelated scattering (WSSUS)
看來第三個似乎是集大成者。除了模型的建立，論文也討論該模型的統計性質──因為本質上通道響應帶有隨機性，可以視為隨機過程。
前提：本論文使用到 complex envelope、low-pass equivalent 的概念。
System Functions
首先探討 duality 的概念。如果我們把輸入與輸出訊號(這裡應該是假設 energy signal)寫作時間或頻率的函數 ($X(f) = F{x(t)}$)，我們可以得到兩組、互為對偶的運算子 (operator)：
$$
\begin{align}
&y(t) = O_{tt}[x(t)],\ \ Y(f) = O_{ff}[X(f)]\\[10pt]
&y(t) = O_{tf}[X(f)],\ \ Y(f) = O_{ft}[x(t)]
\end{align}
$$
若將這些運算視為輸入訊號與系統基底函數 (system kernel function) 的卷積，則可以寫作：
$$
\begin{align}
y(t) &= \int{x(t’) K_1(t, t’)\ dt’}\\[10pt]
Y(f) &= \int{X(f’) K_2(f, f’)\ df’}\\[10pt]
y(t) &= \int{X(f) K_3(t, f)\ df}\\[10pt]
Y(f) &= \int{x(t) K_4(f, t)\ dt}
\end{align}
$$
$K_1(t, t’)$ 和 $K_2(f, f’)$ 是一對 double Fourier transform pair，同樣的 $K_3(t, f)$ 和 $K_4(f, t)$ 也是一對；$K_1$ 和 $K_3$ 為 single Fourier transform pair，$K_2$ 和 $K_4$ 也是。另外，$K_1(t, t’)$ 可以看作是對於時間 $t’$ 的一個 impulse input，系統在時間 $t$ 的響應，依此類推。(可以這麼記憶：第一個變數是輸出，第二個變數是輸入。)
Delay 和 Doppler
接著應用上述的概念。假設一個線性時變通道 $h(t, \tau)$，它的輸入-輸出模型可以寫作
$$
y(t) = \int{x(t - \tau) h(t, \tau)\ d\tau}
$$
$h(t, \tau)$ 其實就是 $K_1(t, t - \tau)$，稱作 input delay-spread function，物理意義為「對於發生在 $t - \tau$ 的 impulse，系統在 $t$ 的響應」。同樣的線性時變通道也可以寫作
$$
y(t) = \int{x(t - \tau) g(t - \tau, \tau)\ d\tau}
$$
$g(t, \tau)$ 稱作 output delay-spread function，其物理意義為「對於發生在 $t$ 的 impulse，系統在 $t + \tau$ 的響應」，$g(t, \tau) = h(t + \tau, \tau)$。對於 causal systems，$h(t, \tau) = g(t, \tau) = 0\ \ \text{for }\tau < 0$
同樣的，在頻域也有類似的表示：
$$
Y(f) = \int{X(f - \nu) G(f, \nu)\ d\nu}
$$
$G(f, \nu)$ 就稱作 input Doppler-spread function，對應到 system function $G(f, \nu) = K_2(f, f - \nu)$。$H(f, \nu) = G(f + \nu, \nu)$ 則是 outut Doppler-spread function。不難看出 $(h, g)$ 和 $(G, H)$ 之間的對偶關係。
上述的概念也可以類比到 $K_3(t, f)$ 和 $K_4(f, t)$。首先是 time-variant transfer function (作者給的名稱) $T(f, t)$。假設輸入為一 complex exponential，則輸出為
$$
\begin{align}
\int{e^{j2\pi f(t - \tau)} h(t, \tau)\ d\tau} &= e^{j2\pi ft} \int{h(t, \tau) e^{-j2\pi f\tau}\ d\tau}\\[10pt]
&= e^{j2\pi ft}\ T(f, t)
\end{align}
$$
即 $T(f, t)$ 是對應到 eigenfunction $e^{j2\pi ft}$ 的 eigenvalue，故
$$
\begin{align}
y(t) &= H\lbrace x(t)\rbrace\\[10pt]
&= H\lbrace \int{X(f) e^{j2\pi ft}\ df}\rbrace\\[10pt]
&= \int{X(f) H\lbrace e^{j2\pi ft}\rbrace\ df}\\[10pt]
&= \int{X(f) T(f, t) e^{j2\pi ft}\ df}
\end{align}
$$
事實上，$T(f, t)$ 和 $H(f, \nu)$ 是 Fourier transform pair：$T(f, t) = F^{-1}\lbrace H(f, \nu)\rbrace$ (請自行推導一遍)。並且，根據前面對於 system kernel 的描述，$K_3(t, f) = T(f, t) e^{j2\pi ft}$。至於 frequency-dependent modulation function $M(t, f)$，和剛才的做法一樣，假設輸入為一 impulse $\delta(t - \tau)$，其頻域表示為 $e^{-j2\pi f\tau}$。則系統輸出為
$$
\begin{align}
\int{e^{-j2\pi\tau(f - \nu)} G(f, \nu)\ d\nu} &= e^{-j2\pi f\tau} \int{G(f, \nu) e^{2\pi\tau\nu}\ d\nu}\\[10pt]
&= e^{-j2\pi f\tau} M(\tau, f)
\end{align}
$$
因此(省略推導過程)
$$
Y(f) = \int{x(t) M(t, f) e^{-j2\pi ft}\ dt}
$$
從上面這個式子應該可以理解「frequency-dependent modulation」名稱的由來。Fourier transform pair 的關係：$M(t, f) = F\lbrace g(t, \tau)\rbrace$ (請自行推導一遍)，並且 $K_4(f, t) = M(t, f) e^{-j2\pi ft}$。
Delay-Doppler 和 Doppler-Delay
前面的數學模型只能呈現 delay 或是 Doppler 的輸入-輸出關係，而不能同時描述兩者。這邊描述的模型則綜合兩者。首先，定義 input delay-spread function $h(t, \tau)$ 的頻域表示為 $U(\tau, \nu)$，$U(\tau, \nu) = F\lbrace h(t, \tau)\rbrace$。推導得到
$$
y(t) = \int{\int{ {\color{yellow} x(t - \tau)}\ {\color{Tomato} e^{j2\pi\nu t} }\ U(\tau, \nu)\ d\nu}\ d\tau}
$$
注意黃色的部分是 delay spread 的成分，橘紅色的部分是 Doppler spread 的成分，而 $U(\tau, \nu)$ 是特定 delay spread 和特定 Doppler spread 對應的 gain，稱作 delay-Doppler-spread function。那麼若是從輸入訊號的頻域表示來看呢？定義 $V(\nu, \tau) = F^{-1}\lbrace G(f, \nu)\rbrace$，則可以得到
$$
Y(f) = \int{\int{ {\color{Tomato} X(f - \nu)}\ {\color{yellow} e^{-j2\pi f\tau}}\ V(\nu, \tau)\ d\tau}\ d\nu}
$$
我們把 $V(\nu, \tau)$ 稱作 Doppler-delay-spread function。事實上兩者只有相位的差異，
$$
U(\tau, \nu) = e^{-j2\pi\nu\tau}\ V(\nu, \tau)
$$
而這個相位差也很好理解，因為兩者分別是 input delay-spread function 和 output delay-spread function 以變數 $t$ 作 Fourier transform 得到，其實是在表示一樣的東西。
圖C整理各種函數之間的關係，總共有八個函數，不過關係還算清楚。
Correlation Functions
由於線性時變通道的變化帶有隨機性，我們用 correlation functions 來描述通道隨機的特徵。這邊假設 system functions 的 ensemble average 為零。以一個獨立變數的隨機過程為例，其自相關函數會有兩個獨立變數，表示兩個時間的相關性；這篇論文裡的 system functions 有兩個獨立變數，因此其自相關函數會有四個獨立變數，以 input delay-spread function 為例：
$$
E[h^{*}(t, \tau) h(s, \eta)] = R_h(t, s; \tau, \eta)
$$
並且，圖C呈現的關係也適用於自相關函數，比如：
$$
R_T(f, \nu; t, s) = \int{\int{R_h(t, s; \tau, \eta)\ e^{j2\pi(\tau f - \eta\nu)}\ d\tau}\ d\eta}
$$
就是 double (inverse) Fourier transform 的關係。並且
$$
R_U(\tau, \eta; \nu, \mu) = e^{j2\pi(\nu\tau - \eta\mu)}\ R_V(\nu, \mu; \tau, \eta)
$$
(請自行推導一遍，這邊論文好像有寫錯。)其他關係式都可以從圖C的關係來推導。假設輸入訊號也可以用隨機過程來 model，可以得到(請自行推導一遍，頻域也有相似的表示式)：
$$
R_y(t, s) = \int{\int{R_x(t - \tau, s - r) R_h(t, s; \tau, t)\ d\tau}\ dr}
$$
WSS 模型
根據以上自相關函數的數學表示，首先探討 WSS 模型，aka 自相關函數和當下時間點無關、只和時間差有關；這表示 $h$、$g$、$T$、$M$ 等函數的自相關函數符合這個特性，並且導致 Doppler domain 出現 singularity function ($\delta(\nu)$)，如：
$$
\begin{align}
R_U(\tau, \eta; \nu, \mu) &= \int{\int{R_h(t, s; \tau, \eta)\ e^{j2\pi(\nu t - \mu s)}\ dt}\ ds}\\[10pt]
&= \int{e^{j2\pi s(\nu - \mu)}\ ds} \int{R_h(r; \tau, \eta)\ e^{j2\pi\nu r}\ dr}\\[10pt]
&= \delta(\nu - \mu) P_U(\tau, \eta; \nu)
\end{align}
$$
其中 $r = t - s$。它的物理意義是什麼呢？我們從以下兩個式子來看：
$$
\begin{align}
R_U(\tau, \eta; \nu, \mu) &= \delta(\nu - \mu) P_U(\tau, \eta; \nu)\tag{1}\\[10pt]
R_G(f, l; \nu, \mu) &= \delta(\nu - \mu) P_G(f, l; \nu)\tag{2}
\end{align}
$$
式 (1) 表示 delay-Doppler-spread function 在相異 Doppler shift 的兩點為不相關，也就是說不管 delay 為何，不同的頻率偏移量 $\nu$ 對輸出訊號 $y(t)$ 的貢獻是不相關的；式 (2) 表示系統轉移函數在相異 Doppler shift 的兩點為不相關，對於任意頻率 $f$ 而言，不同的頻率偏移量 $\nu$ 的貢獻是不相關的。如果系統函數是 Gaussian 的話，不相關意味著互相獨立，便於分析。
再仔細思考式 (1) 的物理意義，會發現給定 $\tau$ 和 $\eta$，$P_U$ 可以視為 $\nu$ 軸上的分布。由於 $U$ 是 delay-Doppler domain 的 complex amplitude，$P_U$ 可以視為功率(密度)──$h(t, \tau)$ 和 $h(t, \eta)$ 在 $\nu$ 軸上的 cross power spectral density。$h(t, \tau)$ 為「延遲 $\tau$ 的響應」，$h(t, \eta)$ 為「延遲 $\eta$ 的響應」，這兩個響應如果只有在時間距離很近的時候才明顯相關，表示通道變化快速、短時間內就變得六親不認，對應到 cross power 平均散布在 Doppler shift 上；如果這兩個響應在任何時間距離都高度相關，表示通道幾乎沒有變化(就延遲 $\tau$ 和 $\eta$ 的部分而言)，cross power 集中在 $\nu = 0$ 處。
US 模型
US 表示 uncorrelated scattering，可以視為 WSS 的對偶：頻域的自相關函數和當下頻率無關，只和頻率差有關，對應到 delay domain 出現 singularity function。
$$
\begin{align}
&R_h(t, s; \tau, \eta) = \delta(\tau - \eta) P_h(t, s; \tau)\tag{3}\\[10pt]
&R_U(\tau, \eta; \nu, \mu) = \delta(\tau - \eta) P_U(\nu, \mu; \tau)\tag{4}
\end{align}
$$
式 (3) 表示對於任意時間點 $t$ 而言，不同 delay 的 gain 是不相關的(每一個 delay 可以視為一個 scatterer，故得名)；而式 (4) 則表示不論 Doppler shift 為何，不同的 delay $\tau$ 對輸出訊號 $y(t)$ 的貢獻是不相關的。在 WSS 模型中，通道在 Doppler domain 的特性為 non-stationary white；而在 US 模型中，通道在 delay domain 的特性為 non-stationary white。
Non-stationary white 是什麼意思？以 US 模型為例，$h(t, \tau)$ 的自相關函數在給定時間 $t$、$s$ 後，只有在 delay 相等時才相關(否則為零)，此為 white；但是相關的程度仍是 delay variable $\tau$ 的函數，此為 non-stationary。這使得 Fourier transform 積分的變數只剩下 $\tau$，對應到的頻域變數就是頻率差 $\Delta f$，在頻域呈現 WSS 的特性。
WSSUS 模型
WSSUS 模型兼有 WSS 和 US 的特性，如
$$
\begin{align}
&R_h(t, t + \Delta t; \tau, \eta) = \delta(\tau - \eta) P_h(\Delta t, \tau)\\[10pt]
&R_G(f, f + \Delta f; \nu, \mu) = \delta(\nu - \mu) P_G(\Delta f, \nu)
\end{align}
$$
Delay-Doppler-spread function 的自相關函數則是
$$
R_U(\tau, \eta; \nu, \mu) = \delta(\tau - \eta) \delta(\nu - \mu) P_U(\tau, \nu)
$$
$U(\tau, \nu)$ 在 delay variable 及 Doppler variable 都是 non-stationary white，意味著不同 delay 的貢獻是不相關的，不同 Doppler shift 的貢獻也是不相關的，$U(\tau, \nu)$ 可以被切成一塊一塊的 delay-Doppler 單元，每一個單元對應到特定的 delay 和 Doppler shift。一個例子是 $N$ 個不相關的 Rayleigh fading channel，每個路徑分別有不同的延遲 $\tau_i$，其模型為
$$
\begin{align}
&y(t) = \sum_{i = 1}^{N}{h_i(t) x(t - \tau_i)}\\[10pt]
&h_i(t) = \int_{-\infty}^{\infty}{U_i(\nu) e^{j2\pi\nu t}\ d\nu}
\end{align}
$$
$h_i(t)$ 是時變的 Rayleigh fading gain，根據 Clarke’s model，其功率密度頻譜為經典的 Doppler spectrum；每個路徑的 $h_i(t)$ 是不相關的，且由於 $h_i(t)$ 為 WSS，功率頻譜密度只有一個變數 $\nu$。
$$
\begin{align}
R_h(t, s) &= E\left[\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{U_i^{*}(\nu) e^{-j2\pi\nu t} U_i(\mu) e^{j2\pi\mu s}\ d\nu}\ d\mu}\right]\\[10pt]
&= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{R_{U_i}(\nu, \mu) e^{j2\pi(\mu s - \nu t)}\ d\nu}\ d\mu}\\[10pt]
&= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{\delta(\nu - \mu) P_{U_i}(\nu) e^{j2\pi(\mu s - \nu t)}\ d\nu}\ d\mu}\\[10pt]
&= \int_{-\infty}^{\infty}{P_{U_i}(\nu) e^{j2\pi\nu(s - t)}\ d\nu}\\[10pt]
(\text{令 }\Delta t = s - t)\ \ &= \int_{-\infty}^{\infty}{P_{U_i}(\nu) e^{j2\pi\nu \Delta t}\ d\nu}
\end{align}
$$
回到 WSSUS 模型，time-frequency domain 的系統轉移函數 $T(f, t)$，在時間以及頻率方面都是 WSS 的，呼應 delay 和 Doppler shift 方面的性質。
$$
R_T(f, f + \Delta f; t, t + \Delta t) = R_T(\Delta f, \Delta t)
$$
最後，透過前述的關係式和 Fourier transform，可以得到下面這些簡潔許多的形式：
$$
\begin{alignat}{2}
&P_U(\tau, \nu) = P_V(\nu, \tau) \equiv S(\tau, \nu)\ &&{\text{(Scattering Function)}}\tag{5}\\[10pt]
&P_G(\Delta f, \nu) = P_H(\Delta f, \nu) \equiv P(\Delta f, \nu)\ &&{\text{(Doppler Cross-Power Spectral Density)}}\tag{6}\\[10pt]
&P_h(\Delta t, \tau) = P_g(\Delta t, \tau) \equiv Q(\Delta t, \tau)\ &&{\text{(Delay Cross-Power Spectral Density)}}\tag{7}\\[10pt]
&R_M(\Delta t, \Delta f) = R_T(\Delta f, \Delta t) \equiv R(\Delta f, \Delta t)\ &&{\text{(Time-Frequency Correlation Function)}}\tag{8}
\end{alignat}
$$
式 (5) 表示 delay-Doppler domain 的功率分布，式 (6) 表示在特定的頻率差之下，Doppler variable 的功率分布。式 (7) 表示在不同的時間差之下，delay variable 的功率分布，當 $\Delta t = 0$，則簡化為 power delay profile。式 (8) 代表在 WSSUS 模型下，$M(t, f)$ 和 $T(f, t)$ 在兩變數的相關性是一致的。
無線電波通道的性質描述
這一節討論 Quasi-WSSUS (QWSSUS) 模型：在短時間區間、有限頻寬內，通道可以視為 WSSUS。假設輸入訊號滿足以下條件：
$$
\begin{align}
W &\ll B_C\\[10pt]
T + \Delta &\ll T_C
\end{align}
$$
當中 $\Delta$ (應該)是系統的 rms 延遲，$T_c$ 和 $B_c$ 是 coherence time 和 coherence bandwidth。論文接著論述為什麼這樣的條件可以將通道視為 QWSSUS。從輸出訊號的自相關函數看起：
$$
E[y^{*}(t) y(s)] = \iint{X^{*}(f) X(l) R_T(f, l; t, s) e^{-j2\pi(ft - ls)}\ df}\ dl\\[10pt]
$$
經過變數變換得到
$$
E[y^{*}(t - \frac{\Delta t}{2}) y(t + \frac{\Delta t}{2})] = \iint{X^{*}(f - \frac{\Delta f}{2}) X(f + \frac{\Delta f}{2}) R_{f, t}(\Delta t, \Delta f) e^{j2\pi(f\Delta t + \Delta f t)}\ df}\ d\Delta f
$$
其中 $R_{f, t}(\Delta t, \Delta f) = R_T(f - \frac{\Delta f}{2}, f + \frac{\Delta f}{2}; t - \frac{\Delta t}{2}, t + \frac{\Delta t}{2})$。根據上述條件，$R_{t, f}$ 在有效積分範圍內(幾乎)不受 $f$ 和 $t$ 的變動而影響、獨立於 $f$ 和 $t$，故
$$
R(\Delta t, \Delta f) = R_{0, 0}(\Delta t, \Delta f)
$$
也就是說從輸入訊號的符號長度和頻寬來看，通道可視為 WSSUS。
標準通道模型
這裡的「標準」原文是 canonical，指的是基於有限自由度 (DoF) 而建立的、簡化過的模型，可以分為兩類：Sampling models 適用於 time-limited 或 band-limited 的訊號或通道，而 power series models 則要求系統函數可以展開為 power series。
讀後想法
這篇論文的用語沒有我想像的過時，說明得也很清楚。不過，由於是第一次碰到這些概念，還無法深刻了解一些數學式的意義，接下來要慢慢熟悉這些概念。後半段以 sampling 和 power series 建立實用模型的段落沒有看，之後有需要再回來讀。
附錄
[1]也討論了時變通道的 system function 和 correlation function，並且整理如下圖。
讀過這篇論文後，應該對這張圖的架構比較有想法(其實 Molisch 這本教科書裡也講得蠻詳細)。
參考資料
[1] A. F. Molisch, Wireless Communications, second edition, John Wiley & Sons Ltd, 2001.