Tayloe Mixer 介紹
記得大二的電子實驗，我經常是最後一個離開實驗室的人，因為各種問題弄半天、最後還是助教勉為其難的降低實驗成果的標準(不然是要助教在實驗室過夜嗎)，我才通過這門必修課。從此，我和離散元件的電路結下不解之緣。
明明手不是很巧、電路的概念不扎實，還是很喜歡欣賞各種電路設計，特別是業餘愛好者的作品。像是 CMoy 音訊放大器電路，小小的一片洞洞板就可以實作出如此精美的電路，而且其中還有許多學問，像是電阻的挑選、電源線路的設計，以及最重要的放大器 IC 的選擇；總覺得讓我讚嘆不已的或許不是電路本身，而是設計者傾注其中的巧思與熱情。
這篇文章要介紹的便是 SDR 離散元件電路中一個極為天才的設計──Tayloe mixer，它可以用於零中頻 (zero IF) 的無線電收發機，正好適合作為 SDR 的 up/down converter。關於電路元件的介紹會盡可能省略，因為我不熟，數學的部分則會多一些。
文章資訊
Dan Tayloe, “Ultra Low Noise, High Performance, Zero IF Quadrature Product Detector and Preamplifier”. Available: https://www.norcalqrp.org/files/Tayloe_mixer_x3a.pdf
Tyloe Mixer 的原理
首先來看看 Tayloe Quadrature Product Detector，電路圖如圖A。電路的運作如下：假設目標頻率為 $f_0$，則多工器切換的頻率為 $4f_0$，每一路輸出只會看到 1/4 週期的訊號。
作者說明這個電路其實不能算是 mixer，應該算是一個切換積分器 (switching integrator)，看看這個 RC 電路應該就明白(也可以想成低通濾波器)。第一個電容的跨壓為相位 $0^{\circ}$ 的取樣值，第二個電容跨壓為相位 $90^{\circ}$ 的取樣值，以此類推。
我們用數學來驗證它確實是一個 down converter。首先 RC 電路的輸出可以表示為(假設電容初始跨壓為 0)
$$
\begin{align}
V_c(t) &= e^{-\frac{t}{RC}} \int_{0}^{t}{e^{\frac{t’}{RC}} \frac{V_{in}(t’)}{RC}\ dt’}\\[10pt]
&\approx \frac{1}{RC} \int_{0}^{t}{V_{in}(t’)\ dt’}
\end{align}
$$
(假設 $RC \gg 1 / f_0$) 確定是一個積分器。接著，假設輸入訊號(由 in-phase 和 quadrature 成分組成)可以表示為 $x(t) = x_I(t)\cos{(2\pi f_0 t + \theta)} - x_Q(t)\sin{(2\pi f_0 t + \theta)}$，計算第一顆電容在 1/4 週期後的輸出 ($a = RC$)：
$$
\begin{align}
r_1 &= \frac{1}{a} \int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{x(t)\ dt}\\[10pt]
&= \frac{1}{a} \int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{x_I(t)\cos{(2\pi f_0 t + \theta)} - x_Q(t)\sin{(2\pi f_0 t + \theta)}\ dt}\\[10pt]
&\approx \frac{1}{a}\left(x_I(t_0)\int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{\cos{(2\pi f_0 t + \theta)}\ dt} - x_Q(t_0)\int_{t_0}^{t_0 + 1 / 4f_0}{\sin{(2\pi f_0 t + \theta)}\ dt}\right)\\[10pt]
&= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(\cos{\beta} - \sin{\beta}) - x_Q(t_0)(\cos{\beta} + \sin{\beta})\right)
\end{align}
$$
其中
$$
\beta = 2\pi f_0 t_0 + \theta
$$
其他電容的輸出則是
$$
\begin{align}
r_2 &= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(-\sin{\beta} - \cos{\beta}) - x_Q(t_0)(\cos{\beta} - \sin{\beta})\right)\\[10pt]
r_3 &= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(-\cos{\beta} + \sin{\beta}) - x_Q(t_0)(-\sin{\beta} - \cos{\beta})\right)\\[10pt]
r_4 &= \frac{1}{a 2\pi f_0}\left(x_I(t_0)(\sin{\beta} + \cos{\beta}) - x_Q(t_0)(-\cos{\beta} + \sin{\beta})\right)
\end{align}
$$
各個切換積分器的輸出送到差分放大器，見圖B。經過簡單的加減，
$$
\begin{align}
I&:\ \ A(r_1 - r_3) = 2A r_1\\[10pt]
Q&:\ \ A(r_2 - r_4) = 2A r_2
\end{align}
$$
得到 6 dB 的增益(和 Gemini 討論，差分放大器也可以消除共模雜訊或 DC漂移)。到這一步我們已經可以得到 in-phase 和 quadrature 的訊號成分，因為(令 $k = \sqrt{2}A / a\pi f_0$)：
$$
\begin{align}
I&:\ \ 2A r_1 = k \cdot {\cal Re}\lbrace (x_I(t_0) + jx_Q(t_0)) e^{j(\pi/4 + \beta)}\rbrace\\[10pt]
Q&:\ \ 2A r_2 = k \cdot {\cal Im}\lbrace (x_I(t_0) + jx_Q(t_0)) e^{j(\pi/4 + \beta)}\rbrace
\end{align}
$$
即為 down-converted、旋轉後的 baseband complex sample，可以由 SDR 軟體處理。作者提到，這個 down converter 的 conversion loss 低於一般 mixer 的作法(甚至還有 6 dB 的增益)，相當吸引人。
作者也提出 up converter 的設計，見圖C。其實就是反過來的設計、甚至更簡單，連 RC 電路都不用了，不過輸出端要一個 BPF。
驗證其為 up converter：假設 in-phase 的 sample 為 $x_I$，quadrature 的 sample 為 $x_Q$，則 BPF 的輸出波形為
$$
x_r(t) = {\cal Re}\lbrace (x_I - jx_Q) e^{j(2\pi f_0 t - \pi / 4)}\rbrace
$$
最後補充其他內容。作者提到 RC 電路的電阻和電容值的選擇會影響系統頻寬 (LPF 的 roll-off frequency)，也會影響振盪電路的 Q 值。作者還提到，反轉切換的順序可以得到 LSB/USB 的訊號(畢竟兩者的差異在於相位)，這個反轉可以用控制的 bit 的反轉來實現。
參考資料
[1] Gerald Youngblood (AC5OG), “A Software-Defined Radio for the Masses, Part 1”, QEX, Jul/Aug, 2002. Available: https://www.arrl.org/files/file/Technology/tis/info/pdf/020708qex013.pdf