論文閱讀：Log-normal Shadowing

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  還記得在large-scale fading的通道模型中，將path loss model為一個log-normal的隨機變數(或是以距離$x$為自變數的隨機過程)嗎？但是為什麼用log-normal來model，而不是其他的分布呢？這篇論文嘗試回答這個問題。

論文資訊

  • 論文標題：Why is Shadow Fading Lognormal?
  • 作者：J. Salo, L. Vuokko and P. Vainikainen, Radio Laboratory/SMARAD, Helsinki University of Technology
  • 發表：Proc. International Symposium on Wireless Personal Multimedia Communications, Sept. 18-22, 2005, pp. 522-526
  • 關鍵字：沒有提供

論文內容

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赫爾辛基。這篇論文是赫爾辛基理工大學的團隊所寫。
圖片來源：Otso Kivekäs, via Wikimedia Commons 連結

  教科書裡通常用相乘模型(multiplicative model)來解釋lognormal shadow fading的由來，但是這個解釋有幾個缺點：

  1. 過去的論文指出，path loss取對數後若要趨近於常態分佈，則需要大量的attenuation factors，而這很難從實際的傳播環境驗證。

  2. 過去的論文指出，如果相乘模型是對的，則path loss應該是(與Tx)距離的指數函數。然而實證的資料卻支持path loss是距離的冪函數(power function)。

  3. 若相乘模型是對的，則隨著距離增加，path loss r.v.的變異數應該要隨之增加，因為random attenuation factors的數量也增加了。但是實證的資料顯示這個變異數幾乎和距離無關。

  於是論文提及幾篇其他論文的想法，比如說[1]這篇論文提出time-variant multiple scattering的理論，佐以森林和郊區的資料為證；還有一篇論文[2]用反射(也就是additive而非multiplicative)來解釋LOS microcell的lognormality，只可惜沒有推廣到其他傳播環境，也沒有理論上的驗證。

  因此，這篇論文呈現additive cluster-based model，並且提供理論上的驗證。首先區分兩種shadow fading的模型：path loss dependent和path loss independent。

  • Path loss dependent：獲得實證資料(比如說實驗結果)後，假設一個函數模型(比如說linear in dB)，再用fitting的方式確立模型，而residual error則model為隨機變數。因此，這種shadow fading的模型(隨機變數的分布)和假設的函數模型，以及fitting的方法相關，因為同樣的資料，只要假設不同函數、使用不同fitting方法，residual error的分布就會不同。

  • Path loss independent：主要關注local mean signal power，通常是在一個點附近取sliding median。這個local mean rx power的變動也經常被model為lognormal的隨機變數。

  這篇論文關注的是第二種，path loss independent的shadow fading模型，因為這個模型不預設path loss的函數模型。以下是理論及驗證。

  假設在某一點接收到的訊號是從$N$個cluster而來(透過反射與散射等)，$N$固定為常數。在某點$x$的narrow-band channel impulse response可以表示為

$$
h(x) = \frac{1}{\sqrt{\mu_N}} \sum_{n = 1}^{N}{w_n(x)g_n(x)}
$$

  $w_n$是大於零的權重，$g_n$是zero mean、unit variance、circularly symmetric的i.i.d complex Gaussian r.v.。這個response是normalized power的，即

$$
E[\sum_{n = 1}^{N}{w_n^2}] = \mu_N
$$

  一般來說，$w_n$會隨著$x$的變化而變動。不過，在幾個波長內的範圍裡(所謂的local area)，$w_n(x) \approx w_n$。又由於$g_n(x)$是i.i.d r.v.(或random process)，可以得到h(x)的分布：

$$
h(x) \sim \sqrt{\frac{1}{\mu_N}\sum_{n = 1}^{N}{w_n^2}} g(x) = \sqrt{m} g(x)
$$


local_area.png

local area的概念。圖片來源：此篇論文

  事實上，等號右邊是一個spherically invariant random process，也有用在其他模型中。由此，local mean power即為

$$
\begin{align}
E[20\log{(|h(x)|)}] &= E[10\log{(m)} + 20\log{(|g(x)|)}] \\
&= m_{dB} + 20E[\log{(|g(x)|)}] \\
&= m_{dB} - 2.51
\end{align}
$$

  上式中第二項是一個log-Rayleigh的隨機變數的期望值，算出來就是$-2.51 dB$。第一項則是local mean power，在local area內為常數。那麼在local area的附近(extended local area)，local power = $10\log{(m)}$作為一個隨機變數，其分佈為何？有了下面三項前提，我們可以用常態分佈來近似local power的分佈。


A1. 當$N \rightarrow \infty$，則$m$的分佈收斂到常態分佈。(中央極限定理)
A2. 對於所有$N$，$E[m] = 1$。(normalized power)
A3. $\lim_{N \rightarrow \infty}{Var[m]} = 0$

Theorem 1
考慮一個連續可微函數，$y = f(x)$，若A1 ~ A3的前提為真，則隨機變數$y = f(m)$漸進式(asymptotically)的近似於常態分佈，且$E[y] = f(1)$，$Var[y] = Var[m][f’(1)]^2$。


  這個定理的證明與推導，論文沒有提供，只是說相關的證明可以從一本time series的書裡找到。之後有空再來嘗試推導。Theorem 1的結論告訴我們，不論cluster power($w_n^2$)的分佈是什麼，最後得到的signal power(dB)都是lognormal分佈的，而且這個lognormal的部分和Tx-Rx距離無關。

  論文的後半部描述電腦模擬的方法與結果，以及一些實際量測的結果，和理論相當一致。量測結果可能資料量不夠大，pdf的曲線看不出吻合的程度。

讀後想法

  這篇論文篇幅很短，只有五頁，我卻寫了這麼多字，看來講重點的功力還不到。精煉短小的一篇論文，數學的部分也不會太複雜，不過需要更大量的資料來佐證。之後可能會用MATLAB來模擬看看。

參考資料

[1] J.B. Andersen and I.Z. Kovács, “Power distributions revisited,” in Proc. COST273 3rd Management Committee Meeting, Jan. 17-18,2002.

[2] S.A. Abbas and A.U. Sheikh, “On understanding the nature of slow fading in LOS microcellular channels,” in _Proc. 47th IEEE Veh. Tech. Conf., vol.2, 1997, pp.662–666.