OTFS ICI 視覺化展示
本文展示 OTFS 系統細胞間干擾 (inter-cell interference，ICI) 的情形，以及減緩 ICI 的方法。因為我不會寫 javascript，頁面上的互動式圖表都是由 Gemini 編寫、我再修改，使用到 p5.js library。
關於 OTFS 系統的細胞間干擾問題，可以參考我之前寫的這篇文章，回顧過去 OFDM 系統是如何處理 ICI，OTFS 系統如何沿用 OFDM 系統的方法、面臨的挑戰等等。
ICIC for OTFS systems
ICIC (ICI coordination) 在 4G 行動通訊系統就已經使用，後來又推出加強版的 eICIC。作為 3GPP 規格，eICIC 在過去也有不少研究：Deb 這篇 2014 年的論文提出一個基於 ABS (almost blank subframe)，有效配對 BS 與 UE 的最佳化演算法；Vasudevan 這篇 2013 年的論文則是從網路動態(e.g. 來來去去的使用者、資料流量)討論動態調整 ABS 的作法。傳統 ICIC 的部分，也有Saleh 的這篇 2018 年會議論文，討論實務上可以怎麼設計 frequency pattern set。
這一節就來看看 ICIC 如何配置頻帶。下面這張圖表呈現一個經典的 seven-cell model，每個細胞中央各有一個基地台，使用共同的 CCU 資源以及各自分配到的 CEU 資源 (fraction frequency reuse scheme，FFR，在 OTFS 系統的資源便是 delay-Doppler 空間的 resource block)，功率分別是 35 dB 和 40 dB。根據 Frii’s free space equation，
$$
P_r(d) = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2}{(4\pi d)^2}
$$
接收訊號的功率 $P_r(d)$ 會與距離 $d$ 的平方成反比。雖然不同的環境應選用合適的 path loss exponent，這裡還是假設 path loss exponent = 2。這裡的作法是七個細胞分別擁有各自的 CEU RB，實務上一個 cluster 可能會在不同細胞分配相同的 CEU RB (soft frequency reuse，SFR)。
CoMP for OTFS systems
CoMP 也是 4G 系統就開始提出的技術。由於網路上有關 CoMP CB 的理論介紹並不多，以下內容參考自 2010 年發表的[1]這篇論文。
Coordinated beamforming (CB) 指的是鄰近細胞的基地台共同協調形成最佳的波束成形向量 (beamforming vector)。這篇論文考慮多細胞、多用戶的情景，每個細胞的基地台有多支天線，彼此共享通道資訊、但不共享傳輸的資料，和一般常見的 MIMO transmit beamforming 不太一樣；每個用戶終端 (UE) 只有一支天線，接收來自所處細胞的基地台 downlink 訊號。
假設 $N$ 個細胞，每個細胞有 $K$ 個 UE，每個細胞有一個基地台，每個基地台有 $N_t$ 支天線。令 $x_{i, j}$ 表示細胞(基地台) $i$ 傳送給 UE $j$ 的訊號，$\bf{w_{i, j}}$ 為 $N_t$ by 1 的波束成型向量，$\bf{h_{l, i, j}}$ 表示細胞 $l$ 和 細胞 $i$ 的 UE $j$ 之間的通道。則細胞 $i$ 的 UE $j$ 接收到的訊號為
$$
y_{i, j} = {\bf h_{i, i, j}}^H {\bf w_{i, j}} x_{i, j} + \textcolor{cyan}{ {\bf h_{i, i, j}}^H \sum_{l \neq j}{ {\bf w_{i, l}} x_{i, l} } } + \textcolor{tomato}{ \sum_{m \neq i}{ {\bf h_{m, i, j}}^H \sum_{n}{ {\bf w_{m, n}} x_{m, n} } } } + z_{i, j}
$$
可以拆成目標訊號、細胞內干擾和細胞間干擾共三項，$z_{i, j}$ 為 complex AWGN。據此可以算出細胞 $i$ 的 UE $j$ 接收訊號的 SINR $\Gamma_{i, j}$。這裡，我們定義目標函數為每支天線的傳輸功率上限，限制條件為各個 UE 接收訊號的 SINR，得到以下最佳化問題：
$$
\begin{align}
\text{minimize}\ \ &\tau\\[10pt]
\text{subject to}\ \ &\Gamma_{i, j} \geq \gamma_{i, j},\ \ \forall i, j\\[10pt]
&\left[\sum_{j}{ {\bf w_{i, j}} {\bf w_{i, j}}^H }\right]_{m, m} \leq \tau,\ \ \forall i, m
\end{align}
$$
其中 $m = 1, \cdots, N_t$。作者利用 uplink-downlink duality 的性質，推導出迭代計算最佳波束成型向量 $\bf{w_{i, j}}$ 的演算法。
下面的互動式圖表展示上述 CB 的效果，以 $N = 3$、$K = 1$、$N_t = 1$ 的系統為例；在這個例子中，只需要一次計算就可以達到最佳解，無須迭代。事實上，$N_t = 1$ 的情況與其說是 CB，更像是分散式功率控制的作法，畢竟只有一支天線。移動圖表中的 UE A，可以發現因為通道的改變，波束成型向量會調整到最佳值，確保各用戶的 SINR 達到一定值的同時(這裡 $\gamma_{i, j} = 1.0$)，最小化各天線的傳輸功率上限。這邊為了呈現時變通道下，波束成型動態更新的效果，以弦波來模擬通道增益的波動。
由於迭代計算最佳 $\bf{w_{i, j}}$ 需要時間，我們不免疑問在 UE 快速移動的情況下，如 OTFS 系統，CB 是否仍然可行。考慮到 OTFS 系統與傳統 OFDM 系統有著相異的通道特徵，CB 計算量或許可以減少，也許可行。
結語
p5.js 真的是相當強大的網頁繪圖工具呢！雖然本文的 code 還是要歸功於 Gemini Pro。事實上，Gemini Pro 已經提供在對話裡直接呈現互動式圖表的功能；可以稍微理解網頁前端工程師所面臨的困境。
本文視覺化呈現 OFDM 系統已有使用的 ICIC 和 CoMP CB 技術，這些技術也可以用於 OTFS 系統，只不過資源的劃分要從時頻空間改為 delay-Doppler 空間。日常生活中，車聯網可能是 OTFS 系統最關注的應用之一，考量到臺灣都會區車輛和基地台密度極高，這些抗干擾技術應該有不少發揮空間。
參考資料
[1] H. Dahrouj and W. Yu, “Coordinated beamforming for the multicell multi-antenna wireless system,” in IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 9, no. 5, pp. 1748-1759, May 2010, doi: 10.1109/TWC.2010.05.090936.
[2] D. Lee et al., “Coordinated multipoint transmission and reception in LTE-advanced: deployment scenarios and operational challenges,” in IEEE Communications Magazine, vol. 50, no. 2, pp. 148-155, February 2012, doi: 10.1109/MCOM.2012.6146494.